共通テスト数学ⅡBC｜指数関数と対数関数の基本問題15問【PDF・解説つき】

75 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(1 \lt \sqrt[5]{\,8\,} \lt \sqrt[3]{\,4\,} \lt 2\)（⓪③②①）

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\({\small (2)}~\)\(\sqrt[6]{\,7\,} \lt \sqrt{\,2\,} \lt \sqrt[3]{\,3\,}\)（②⓪①）

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\({\small (3)}~\)\(1 \lt \log_{2}3 \lt \log_{4}25\)（⓪①②）

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\({\small (4)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}7 \lt \log_{\large \frac{1}{2}}5 \lt \log_{\large \frac{1}{2}}3\)（②①⓪）

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1~,~2~,~\sqrt[3]{\,4\,}~,~\sqrt[5]{\,8\,}\) について、

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底を \(2\) にそろえて累乗で表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1=2^0
\\[3pt]~~~&&2=2^1
\\[3pt]~~~&&\sqrt[3]{\,4\,}=(2^2)^{\large \frac{1}{3}}=2^{\large \frac{2}{3}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[5]{\,8\,}=(2^3)^{\large \frac{1}{5}}=2^{\large \frac{3}{5}}\end{eqnarray}\)

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指数部分の \(0~,~1~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) を比較すると、

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\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,15\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,15\,}\) より、

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　\(0 \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \lt 1\)

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底が \(1\) より大きいので、大小関係はそのままとなり、

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　\(2^0 \lt 2^{\large \frac{3}{5}} \lt 2^{\large \frac{2}{3}} \lt 2^1\)

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したがって、

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　\(1 \lt \sqrt[5]{\,8\,} \lt \sqrt[3]{\,4\,} \lt 2\) となる

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\({\small (2)}~\)\(\sqrt{\,2\,}~,~\sqrt[3]{\,3\,}~,~\sqrt[6]{\,7\,}\) について、

指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) でそろえると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,2\,}=2^{\large \frac{1}{2}}=2^{\large \frac{3}{6}}=(2^3)^{\large \frac{1}{6}}=8^{\large \frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[3]{\,3\,}=3^{\large \frac{1}{3}}=3^{\large \frac{2}{6}}=(3^2)^{\large \frac{1}{6}}=9^{\large \frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[6]{\,7\,}=7^{\large \frac{1}{6}}\end{eqnarray}\)

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底を比較すると、

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　\(7 \lt 8 \lt 9\)

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よって、

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　\(7^{\large \frac{1}{6}} \lt 8^{\large \frac{1}{6}} \lt 9^{\large \frac{1}{6}}\)

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したがって、

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　\(\sqrt[6]{\,7\,} \lt \sqrt{\,2\,} \lt \sqrt[3]{\,3\,}\) となる

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\({\small (3)}~\)それぞれの値について、対数の底を \(2\) にそろえると、

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　\(1=\log_{2}2\)

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底の変換公式より

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_{4}25&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}25\,}{\,\log_{2}4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}5^2\,}{\,\log_{2}2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_{2}5\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{2}5\end{eqnarray}\)

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よって、\(\log_{2}2~,~\log_{2}3~,~\log_{2}5\) の真数を比較すると、

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　\(2 \lt 3 \lt 5\)

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底が \(1\) より大きいので、対数の大小関係はそのままで、

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　\(\log_{2}2 \lt \log_{2}3 \lt \log_{2}5\)

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したがって、

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　\(1 \lt \log_{2}3 \lt \log_{4}25\) となる

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\({\small (4)}~\)\(\log_{\large \frac{1}{2}}3~,~\log_{\large \frac{1}{2}}5~,~\log_{\large \frac{1}{2}}7\) の真数を比較すると、

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　\(3 \lt 5 \lt 7\)

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底が \(1\) より小さいので、対数の大小関係は逆になる

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したがって、

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　\(\log_{\large \frac{1}{2}}7 \lt \log_{\large \frac{1}{2}}5 \lt \log_{\large \frac{1}{2}}3\) となる