数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 62
62｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
62
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sin2x=\cos x\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\cos2x=\sin x\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(\cos2x \gt 5\cos x-3\) の解は、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\pi\)
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sin2x=\cos x\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\cos2x=\sin x\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(\cos2x \gt 5\cos x-3\) の解は、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\pi\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
62 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&\cos x
\\[3pt]~~~2\sin x\cos x&=&\cos x
\\[3pt]~~~2\sin x\cos x-\cos x&=&0
\\[3pt]~~~\cos x(2\sin x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos x=0\) または \(2\sin x-1=0\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(\cos x=0\) のとき、
単位円上の \(x\) 座標が \(0\) となる点より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(2\sin x-1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&\sin x
\\[3pt]~~~1-2\sin^2 x&=&\sin x\end{eqnarray}\)
※ \(\sin x\) で統一するために、\(\cos 2x=1-2\sin^2 x\) の公式を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~-2\sin^2 x-\sin x+1&=&0
\\[3pt]~~~2\sin^2 x+\sin x-1&=&0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2\sin x&&-1~&~-\sin x\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~\sin x&&+1~&~2\sin x\\[2pt]
\hline
&&&\sin x
\end{array}\)
\((2\sin x-1)(\sin x+1)=0\)
よって、\(2\sin x-1=0\) または \(\sin x+1=0\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(2\sin x-1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\sin x+1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=-1\) より、
単位円上の \(y=-1\) との交点より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x &\gt& 5\cos x-3
\\[3pt]~~~2\cos^2 x-1 &\gt& 5\cos x-3\end{eqnarray}\)
※ \(\cos x\) で統一するために、\(\cos 2x=2\cos^2 x-1\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos^2 x-5\cos x-1+3 &\gt& 0
\\[3pt]~~~2\cos^2 x-5\cos x+2 &\gt& 0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2\cos x&&-1~&~-\cos x\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~\cos x&&-2~&~-4\cos x\\[2pt]
\hline
&&&-5\cos x
\end{array}\)
\((2\cos x-1)(\cos x-2) \gt 0\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(-1{\small ~≦~}\cos x{\small ~≦~}1\)
各辺に \(-2\) を足すと、
\(-3{\small ~≦~}\cos x-2{\small ~≦~}{-1}\)
よって、常に \(\cos x-2\lt 0\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos x-1&\lt& 0
\\[5pt]~~~\cos x&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
単位円上の \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の2個分と10個分であり、\(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より小さい範囲である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の2個分と10個分であり、\(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より小さい範囲である。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
三角関数｜問題一覧はこちら→
