数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 59
59｜角が複雑な三角関数を含む方程式
59
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、
方程式 \(\cos\left(\,\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) は、
\(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=t\) とおくと、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi{\small ~≦~}t \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) であるから、
\(\cos t=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) を解くと、\(t\) の値は小さい順に、
\(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{オカ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) である。
よって、\(\theta\) の値は小さい順に
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{スセ}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\pi\) である。
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、
方程式 \(\cos\left(\,\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) は、
\(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}=t\) とおくと、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi{\small ~≦~}t \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) であるから、
\(\cos t=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) を解くと、\(t\) の値は小さい順に、
\(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{オカ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) である。
よって、\(\theta\) の値は小さい順に
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{スセ}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\pi\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
59 数学ⅡBC【解答】
\(t\) の範囲は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}t \lt \displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\)
\(t=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) について、
\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=t\) とおくと、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~0+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&{\small ~≦~}&\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&{\small ~≦~}&t\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
この範囲で、\(\cos t=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となる、単位円と直線 \(x=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) の交点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(11\) 個分と \(13\) 個分であるので、
範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}t\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) であるから、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) は \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より小さいので含まれず、\(\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) は \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) より小さいので含まれる。
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11-2\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,9\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
また、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,13-2\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
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