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53｜θ+πやπ-θなどの三角関数の性質
53
次の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) に当てはまるものを、下の⓪〜③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
\(\sin(\theta+2\pi)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\(\cos(-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\(\sin(-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\(\cos(\theta+\pi)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\(\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
\(\cos\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\)
\(\cos(\pi-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\)
選択肢：⓪ \(\sin\theta\) ① \(-\sin\theta\)
② \(\cos\theta\) ③ \(-\cos\theta\)
次の \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) に当てはまるものを、下の⓪〜③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
\(\sin(\theta+2\pi)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\(\cos(-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\(\sin(-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\(\cos(\theta+\pi)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\(\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
\(\cos\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\)
\(\cos(\pi-\theta)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)=\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\)
選択肢：⓪ \(\sin\theta\) ① \(-\sin\theta\)
② \(\cos\theta\) ③ \(-\cos\theta\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
53 数学ⅡBC【解答】
\(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\)（⓪）
\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)（②）
\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)（①）
\(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\)（③）
\(\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\cos\theta\)（②）
\(\cos\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=-\sin\theta\)（①）
\(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)（③）
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)=\sin\theta\)（⓪）
【より詳しい解説】
■ \(\theta+2n\pi\)（\(n\) は整数）の三角関数
\(\theta+2n\pi\)（\(n\) は整数）は \(\theta\) と動径が一致するので、
\(\begin{eqnarray}\sin(\theta+2n\pi)&=&\sin \theta
\\[5pt]\cos(\theta+2n\pi)&=&\cos \theta
\\[5pt]\tan(\theta+2n\pi)&=&\tan \theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\) より、ア ⓪
■ \(-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(-\theta\) の点は \((x~,~-y)\) となるので、
\(\sin \theta=y~,~\cos \theta=x~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(-\theta)&=&-y=-\sin \theta
\\[5pt]\cos(-\theta)&=&x=\cos \theta
\\[5pt]\tan(-\theta)&=&-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=-\tan \theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\cos(-\theta)=\cos\theta\) より、イ ②
\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) より、ウ ①
■ \(\theta+\pi\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\pi\) の点は \((-x~,~-y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\theta+\pi)&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\cos(\theta+\pi)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\theta+\pi)&=&\displaystyle\frac{\,-y\,}{\,-x\,}=\tan\theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\) より、エ ③
■ \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の点は \((-y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=\cos\theta\) より、オ ②
\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=-\sin\theta\) より、カ ①
■ \(\pi-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\pi-\theta\) の点は \((-x~,~y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\pi-\theta)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\cos(\pi-\theta)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle\frac{\,y\,}{\,-x\,}=-\tan\theta
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\) より、キ ③
■ \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\) の点は \((y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)=\sin\theta\) より、ク ⓪
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