数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 57
57｜三角関数を含む方程式・不等式
57
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\tan\theta=-\sqrt{\,3\,}\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\tan\theta=-\sqrt{\,3\,}\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) のとき、
\(\fbox{コ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \fbox{ソ}\pi\)
\({\small (4)}~\)\(\tan\theta{\small ~≧~}1\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ト}\,}{\,\fbox{ナ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ニ}\,}{\,\fbox{ヌ}\,}\pi\)
\(\fbox{コ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \fbox{ソ}\pi\)
\({\small (4)}~\)\(\tan\theta{\small ~≧~}1\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ト}\,}{\,\fbox{ナ}\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ニ}\,}{\,\fbox{ヌ}\,}\pi\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
57 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(y=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(7\) 個分と \(11\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~-\sqrt{\,3\,})\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(4\) 個分と \(10\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
単位円上の \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点が、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(7\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) は、
\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) 以上の範囲の動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点が、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\tan\theta{\small ~≧~}1\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) 以上の範囲であり、そのときの動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (1)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(y=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(7\) 個分と \(11\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\tan\theta=-\sqrt{\,3\,}\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~-\sqrt{\,3\,})\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(4\) 個分と \(10\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる \(\theta\) の値は、
単位円上の \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点が、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(7\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) は、
\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) 以上の範囲の動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
\({\small (4)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\tan\theta=1\) となる \(\theta\) の値は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点が、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\tan\theta{\small ~≧~}1\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) 以上の範囲であり、そのときの動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
※ \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) では \(\tan\theta\) の値はないので、含まない。
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