数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 64
64｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
64
関数 \(y=\cos2x+2\cos x\)（\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\)）について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\cos x=t\) とおくと、
\(y=\fbox{ア}\,t^2+\fbox{イ}\,t-\fbox{ウ}\) と表され、
\(t\) のとりうる値の範囲は \(\fbox{エオ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{カ}\) である。
\({\small (2)}~\)この関数は、
\(x=\fbox{キ}\) で最大値 \(\fbox{ク}\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\) で最小値 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{スセ}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\)
をとる。
関数 \(y=\cos2x+2\cos x\)（\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\)）について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\cos x=t\) とおくと、
\(y=\fbox{ア}\,t^2+\fbox{イ}\,t-\fbox{ウ}\) と表され、
\(t\) のとりうる値の範囲は \(\fbox{エオ}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\fbox{カ}\) である。
\({\small (2)}~\)この関数は、
\(x=\fbox{キ}\) で最大値 \(\fbox{ク}\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\) で最小値 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{スセ}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\)
をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
64 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(y=2t^2+2t-1~,~\)\(-1{\small ~≦~}t{\small ~≦~}1\)
\({\small (2)}~\)\(x=0\) で最大値 \(3\)
\(\hspace{13pt}\)\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos 2x+2\cos x
\\[3pt]~~~&=&2\cos^2 x-1+2\cos x
\\[3pt]~~~&=&2\cos^2 x+2\cos x-1\end{eqnarray}\)
※ \(\cos x\) に統一するために \(\cos 2x=2\cos^2 x-1\) を用いる。
ここで、\(\cos x=t\) とおくと、\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\cos x{\small ~≦~}1
\\[3pt]~~~-1&{\small ~≦~}&t{\small ~≦~}1~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) を \(t\) で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2t^2+2t-1
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
頂点 \(\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)\) で下に凸のグラフより、
\(t=1\) のとき最大値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 1^2+2 \cdot 1-1
\\[3pt]~~~&=&2+2-1
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
ここで \(t=1\) のとき、
\(\cos x=1\)
単位円上の \(x\) 座標が \(1\) となる点より、
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、\(x=0\)
また \(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最小値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos x&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
単位円上の \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の4個分と8個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の4個分と8個分である。
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
したがって、
\(x=0\) のとき最大値 \(3\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) のとき最小値 \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
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