数学Ⅱ｜三角関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 63
63｜三角関数の合成と方程式・不等式の解
63
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,3\,}\sin x+\cos x=1\) の解は、
\(\fbox{ア}\sin\left(\,x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\right)=1\) より、
\(x=\fbox{ウ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\sin x-\sqrt{\,3\,}\cos x \gt 1\) の解は、
\(\fbox{カ}\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\right) \gt 1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\)
\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) のとき、次の方程式、不等式を解け。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,3\,}\sin x+\cos x=1\) の解は、
\(\fbox{ア}\sin\left(\,x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\right)=1\) より、
\(x=\fbox{ウ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(\sin x-\sqrt{\,3\,}\cos x \gt 1\) の解は、
\(\fbox{カ}\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\right) \gt 1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\)
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
63 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(2\sin\left(\,x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\,\right)=1~,~\)\(x=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\)\(2\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right) \gt 1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\pi \lt x \lt \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)左辺を合成すると、点 \({\rm P}(\sqrt{\,3\,}~,~1)\) であるので、
\(r=2~,~\alpha=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,3\,}\sin x+\cos x&=&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&1
\\[5pt]~~~\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲は、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) を満たす \(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の値は、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
それぞれ \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) となる
\({\small (2)}~\)左辺を合成すると、点 \({\rm P}(1~,~-\sqrt{\,3\,})\) であるので、
\(r=2~,~\alpha=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin x-\sqrt{\,3\,}\cos x&\gt&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&1
\\[5pt]~~~\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、\(\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\gt \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲は、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分であり、\(y\gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の範囲である。
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分であり、\(y\gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の範囲である。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
各辺に \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,1+2\,}{\,6\,}\pi&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,5+2\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) となる
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