共通テスト数学ⅡBC｜三角関数の基本問題14問【PDF・解説つき】

2026.09.30

52｜弧度法の角と三角関数の値

次の値を求めよ。

\({\small (1)}~\)\(\sin\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)

\({\small (2)}~\)\(\cos\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\,}\)

\({\small (3)}~\)\(\tan\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=\fbox{カ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\)

\({\small (4)}~\)\(\sin\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi=\fbox{ク}\)

\({\small (5)}~\)\(\tan\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\sqrt{\,\fbox{コ}\,}\,}\)

\({\small (6)}~\)\(\cos(-5\pi)=\fbox{サシ}\)

共通テスト数学ⅡBC｜三角関数

52 数学ⅡBC【解答】

\({\small (1)}~\)\(\sin\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

\({\small (2)}~\)\(\cos\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)

\({\small (3)}~\)\(\tan\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=-\sqrt{\,3\,}\)

\({\small (4)}~\)\(\sin\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi=1\)

\({\small (5)}~\)\(\tan\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\)

\({\small (6)}~\)\(\cos(-5\pi)=-1\)

【より詳しい解説】
\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(7\) 個分であり、第3象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-\sqrt{\,3\,}~,~-1)\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=-\sqrt{\,3\,}~,~\)\(y=-1~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(7\) 個分であり、第4象限の位置にある

また、\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の円との交点が \((1~,~-1)\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=1~,~\)\(y=-1~,~\)\(r=\sqrt{\,2\,}\) を代入すると、

　\(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)

\(\theta=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi=-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(-8\) 個分であり、第2象限の位置にある

また、\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((-1~,~\sqrt{\,3\,})\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=-1~,~\)\(y=\sqrt{\,3\,}~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\tan \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\right)=-\sqrt{\,3\,}\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(5\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((0~,~1)\) の位置にある

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}\) に \(x=0~,~\)\(y=1~,~\)\(r=1\) を代入して、

\(x=0\) より、\(\tan \theta\) の値はない

　\(\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi=1\)

\(\theta=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(13\) 個分で \(1\) 周して \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) と同じ位置になる

また、\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
動径と半径 \(2\) の円との交点が \((\sqrt{\,3\,}~,~1)\) であるので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\)\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) に \(x=\sqrt{\,3\,}~,~\)\(y=1~,~\)\(r=2\) を代入すると、

　\(\tan \displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\)

\(\theta=-5\pi=-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\pi\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) が \(-10\) 個分であり、半径 \(1\) の円の点 \((-1~,~0)\) の位置にある

　\(\cos \left(-5\pi\right)=-1\)

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