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65｜三角関数の合成と最大値・最小値
65
関数 \(y=\sin x-\cos x\)（\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\)）について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)三角関数の合成により、
\(y=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\right)\) と表される。
\({\small (2)}~\)この関数は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) で最大値 \(\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi\) で最小値 \(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\)
をとる。
関数 \(y=\sin x-\cos x\)（\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\)）について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)三角関数の合成により、
\(y=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\right)\) と表される。
\({\small (2)}~\)この関数は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) で最大値 \(\sqrt{\,\fbox{オ}\,}\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\pi\) で最小値 \(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\)
をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜三角関数
65 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(y=\sqrt{\,2\,}\sin\left(\,x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) で最大値 \(\sqrt{\,2\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(x=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) で最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\(y=\sin x-\cos x\) について、
右辺を合成すると、点 \({\rm P}(1~,~-1)\) であるので、
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x-\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
これより、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の値の範囲は、
\(-1{\small ~≦~}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1\)
\(\sqrt{\,2\,}\) をかけることで、\(y\) の値の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
また、\(y=-\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) のとき最大値 \(\sqrt{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) のとき最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\) となる
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