東京書籍：Advanced数学Ⅰ

p.50
問1
\({\small (1)}~\in~,~\notin\)　\({\small (2)}~\notin~,~\in\)

p.51
問2
\({\small (1)}~\{2,3,5,7\}\)
\({\small (2)}~\{1,3,5,7,\cdots,99\}\)
\({\small (3)}~\{-2,2\}\)
\({\small (4)}~\{10,15,20,\cdots\}\)

p.51
問3
\({\small (1)}~\{~x~|~x\)は \(11\) 以下の素数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~2x-1~|~x\)は \(500\) 以下の自然数\(~\}\)
→ 集合の表し方と要素

p.52
問4
\({\rm A~,~C~,~D}\)

p.52
問5
\({\rm B}\)
→ 集合の包含関係と部分集合

p.53
問6
\({\small (1)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{2,3,5\}\)
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,2,3,4,5,7\}\)
\({\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{1,2,4,8\}\)
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,32\}\)

p.54
問7
\({\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C} =\{2,4\}\)
\({\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C} =\{1,2,3,4,5,6,8,10,16\}\)
→ 共通部分と和集合

p.54
問8
\(\phi,\{3\} ,\{4\} ,\{5\} \)
\(\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{3,5\} ,\{3,4,5\} \)

p.55
問9
\({\small (1)}~\{1,3,5,7,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{2,6\}\)
\({\small (3)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)

p.55
問10
\(\overline {{\rm A}}\) と \(\overline {{\rm B}}\) はそれぞれ次のようになる


したがって、\({\rm A}\subset{\rm B}\) ならば \(\overline {{\rm A}}\supset\overline {{\rm B}}\) である

p.56
問11
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
　\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)

p.56
問12
\(\{5,8,9\}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則

p.56
1
\({\small (1)}~\{~x~|~-1< x≦2\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~x< 5\}\)
\({\small (3)}~\{~x~|~5≦x\}\)
\({\small (4)}~\{~x~|~x≦-1~,~2< x\}\)

p.57
問1
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)偽
→ 命題の真偽

p.57
問2
\(x> -4\)

p.59
問3
\({\small (1)}~\)偽　\({\small (2)}~\)真　\({\small (3)}~\)真　\({\small (4)}~\)偽

p.59
問4
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)偽 \(x=0\)
\({\small (3)}~\)偽 \(n=2\)
→ 条件の真偽

p.60
問5
\({\small (1)}~\)必要条件であるが、十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが、必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件でも十分条件でもない
→ 必要条件と十分条件

p.61
問6
\({\small (1)}~x\neq-2\)　\({\small (2)}~x>3\)

p.61
問7
\({\small (1)}~x<1\) または \(y>4\)
\({\small (2)}~x>5\) かつ \(y≦8\)
→ 条件の否定①（かつ・または）

p.62
問8
\({\small (1)}~\)
逆は、\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)→真
裏は、\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)→真
対偶は、\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)→真
\({\small (2)}~\)
逆は、
\(n\) は \(12\) の約数 \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数→偽
裏は、
\(n\) は \(6\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(12\) の約数でない→偽
対偶は、
\(n\) は \(12\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数でない→真
→ 逆と裏と対偶

p.63
問9
[証明]この命題の対偶は、
　\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると
　\(n^2+1=(2m)^2+1=2\cdot 2m^2+1\)
\(2m^2\) が整数より \(n^2+1\) は奇数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法

p.64
問10
[証明]青の箱に \(a\) 個、黄の箱に \(b\) 個、赤の箱に \(c\) 個の球を入れたとすると、球の合計が \(8\) 個より、
　\(a+b+c=8\)
次に、入っている球が \(2\) 個以下の箱がないと仮定すると、それぞれ \(3\) 個以上入るので
　\(a≧3~,~b≧3~,~c≧3\)
よって、これらの和は、
　\(a+b+c≧9\)
これは \(a+b+c=8\) に矛盾する
したがって、入っている球が \(2\) これ以下の箱がある[終]

p.65
問11
[証明]\(3+2\sqrt{2}\) が無理数でないと仮定すると
\(3+2\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる
　\(3+2\sqrt{2}=r\)
式変形すると、
　\(\sqrt{2}={\Large \frac{r-3}{2}}\)
\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{r-3}{2}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(3+2\sqrt{2}\) が無理数である[終]
→ 背理法

p.66
発展1
\({\small (1)}~\)偽　\({\small (2)}~\)真

p.67
発展2
\({\small (1)}~\)真　\({\small (2)}~\)偽

p.67
発展3
\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について \(x^2 < 0\)
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について \(x^2=2\)
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）

p.68
2
\({\small (1)}~x=-5\)
\({\small (2)}~x=\sqrt{2}~,~y=-\sqrt{2}\)

p.68
3
\({\small (1)}~\)必要十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件でない
\({\small (3)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (4)}~\)十分条件であるが必要条件でない

p.68
4
\({\small (1)}~x≦2\) または \(5≦x\)
\({\small (2)}~n\) は３の倍数でなく、かつ \(n\) は４の倍数でない

p.68
5
\({\small (1)}~\)
逆は、
\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形であるならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である→偽
対偶は、
\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形でないならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形でない→真
\({\small (2)}~\)
逆は、
\(x^2+1=2x\) ならば \(x=1\) である→真
対偶は、
\(x^2+1\neq2x\) ならば \(x\neq1\) である→真

p.68
6
[証明]この命題の対偶は、
\(x=0\) かつ \(y=0\) ならば \(x^2+y^2=0\) である
となるので、これは真となる
したがって、もとの命題も真となり
\(x^2+y^2\neq0\) ならば \(x\neq0\) または \(y\neq0\) である[終]

p.68
7
[証明]
(ⅰ) \(p~\Rightarrow~q\) について、
\(x>0\) かつ \(y>0\) より
この２数の和や積も正の数となるので
\(x+y>0\) かつ \(xy>0\)
よって、真となる

(ⅱ) \(q~\Rightarrow~p\) について、
\(xy>0\) より、この２数は同符号となる
また、\(x+y>0\) より、この２数はともに正の数となるので
\(x>0\) かつ \(y>0\)
よって、真となる

したがって、(ⅰ)と(ⅱ)より
\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件である[終]

p.68
8
[証明]\(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より
　\(\sqrt{2}=-{\Large \frac{a}{b}}\)
ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a}{b}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で \(a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0\) [終]

p.69
1
\(a=-2~,~b=9\)
\({\rm A}\cup{\rm B}=\{-1,2,3,4,7\}\)

p.69
2
\({\small (1)}~3< a ≦ 5\)　\({\small (2)}~6≦ a < 7\)
\({\small (3)}~a≧8\)
→ 数直線と集合

p.69
3
\({\small (1)}~\)必要十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件でない
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件でない

p.69
4
[証明]この命題の対偶は、
正の数 \(a~,~b\) について、\(a≦5\) かつ \(b≦5\) ならば \(a^2+b^2≦50\)
\(a≦5\) より、\(a^2≦25\)
\(b≦5\) より、\(b^2≦25\)
これらより、\(a^2+b^2≦50\)
したがって、対偶が真となるので、もとの命題も真となる[終]

p.69
5
\(a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}\) を式変形すると、
　\(a-c+(b-d)\sqrt{5}=0\)
ここで、\(b-d\neq0\) と仮定すると、
　\(\sqrt{5}=-{\Large \frac{a-c}{b-d}}\)
ここて、\(a,b,c,d\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{a-c}{b-d}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{5}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b-d=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}\) に代入すると、\(a=c\)
したがって、\(a,b,c,d\) が有理数で \(a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}~\Rightarrow~a=c\) かつ\(b=d\) [終]