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第１章 数と式
第２章 集合と命題
第３章 ２次関数
第４章 図形と計量
第５章 データの分析
第２章 集合と命題
p.56 練習1$${\small (1)}~\in$$$${\small (2)}~\notin$$$${\small (3)}~\notin$$
p.57 練習2$${\small (1)}~{\rm A}=\{1,2,3,4,6,12\}$$$${\small (2)}~{\rm B}=\{1,3,5,7,\cdots,29\}$$
p.57 練習3$${\small (1)}~{\rm A}=\{3,6,9,12,15,18\}$$$${\small (2)}~{\rm B}=\{1,4,7,10,\cdots\}$$→ 集合の表し方と要素
p.57 深める\(~~~{\rm C}=\{x~|~x\) は \(15\) 以下の正の奇数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
p.58 練習4$${\small (1)}~\rm A\subset B$$$${\small (2)}~\rm C=D$$$${\small (3)}~\rm P\supset Q$$
p.58 練習5$${\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}$$$${\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}$$$$~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}$$→ 集合の包含関係と部分集合
p.59 練習6$${\small (1)}~\{2,4,6\}$$$${\small (2)}~\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$$${\small (3)}~\phi$$$${\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}$$→ 共通部分と和集合
p.59 練習7\({\small (1)}~\{~x~|~1≦x< 2~,~x\) は実数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~0< x≦4~,~x\) は実数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~0< x≦4~,~x\) は実数\(~\}\)
p.60 練習8$${\small (1)}~\{1,2,4,5\}$$$${\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}$$$${\small (3)}~\{4,5\}$$$${\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}$$$${\small (5)}~\{6\}$$$${\small (6)}~\{1,2\}$$
p.61 練習9全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、$$~~~ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $$をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$→ 補集合とド・モルガンの法則
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$→ 補集合とド・モルガンの法則
p.61 研究 練習1$$~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{2,6\}$$$$~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}$$
p.63 練習11\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
\({\small (3)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
\({\small (3)}~\)真
p.64 練習12\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
\({\small (2)}~\)偽
p.66 練習15 ①、③
p.66 練習16\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件でない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件でない
→ 必要条件と十分条件
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件でない
→ 必要条件と十分条件
p.66 練習17\({\small (1)}~n\) は奇数である
\({\small (2)}~n\) は５以上である
\({\small (2)}~n\) は５以上である
p.66 深める (例) \(q\) ： \(n\) は \(3\) の倍数
p.67 練習19\({\small (1)}~a~,~b\) はともに無理数である
\({\small (2)}~a~,~b\) のうち少なくとも一方が無理数である
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
\({\small (2)}~a~,~b\) のうち少なくとも一方が無理数である
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
p.68 練習20\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(a-b> 0~\Rightarrow~a> b\)、真
対偶は、
\(a-b≦0~\Rightarrow~a≦b\)、真
裏は、
\(a≦b~\Rightarrow~a-b≦0\)、真
逆は、
\(a-b> 0~\Rightarrow~a> b\)、真
対偶は、
\(a-b≦0~\Rightarrow~a≦b\)、真
裏は、
\(a≦b~\Rightarrow~a-b≦0\)、真
\({\small (2)}~\)命題は真
逆は、
\(ab=0~\Rightarrow~a=0\)、偽
対偶は、
\(ab\neq 0~\Rightarrow~a\neq 0\)、真
裏は、
\(a\neq 0~\Rightarrow~ab\neq 0\)、偽
→ 逆と裏と対偶
p.69 練習21\({\small (1)}~\)命題は真であり、
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m\) は４の倍数でない」
これも真となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
\({\small (2)}~\)命題は \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数かつ \(n\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m+n\) は奇数」
これも \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m\) は４の倍数でない」
これも真となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
\({\small (2)}~\)命題は \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数かつ \(n\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m+n\) は奇数」
これも \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
p.70 練習22[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2$$\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2$$\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
→ 対偶法
p.70 練習23[証明]\(1+3\sqrt{2}\) が無理数でないと仮定すると
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる$$~~~1+3\sqrt{2}=r$$式変形すると、$$~~~\sqrt{2}={ \frac{\,r-1\,}{\,3\,}}$$\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) が無理数である
→ 背理法
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる$$~~~1+3\sqrt{2}=r$$式変形すると、$$~~~\sqrt{2}={ \frac{\,r-1\,}{\,3\,}}$$\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) が無理数である
→ 背理法
p.75 章末問題Ｂ 8[証明] この命題の対偶は、
\(m+n\) が奇数ならば、\(m^2+n^2\) は奇数である
ここで、\(m+n\) が奇数であるので、整数 \(k\) を用いて、$$~~~m+n=2k+1$$このとき、$$\begin{split}&m^2+n^2\\[2pt]~~=~&(m+n)^2-2mn\\[2pt]~~=~&(2k+1)^2-2mn\\[2pt]~~=~&2(2k^2+2k-mn)+1\end{split}$$\(2k^2+2k-mn\) は整数であるから、\(m^2+n^2\) は奇数である
したがって、対偶が真であるのでもとの命題も真である [終]
\(m+n\) が奇数ならば、\(m^2+n^2\) は奇数である
ここで、\(m+n\) が奇数であるので、整数 \(k\) を用いて、$$~~~m+n=2k+1$$このとき、$$\begin{split}&m^2+n^2\\[2pt]~~=~&(m+n)^2-2mn\\[2pt]~~=~&(2k+1)^2-2mn\\[2pt]~~=~&2(2k^2+2k-mn)+1\end{split}$$\(2k^2+2k-mn\) は整数であるから、\(m^2+n^2\) は奇数である
したがって、対偶が真であるのでもとの命題も真である [終]
p.75 章末問題Ｂ 9\({\small (1)}~\)[証明] \(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より$$~~~\sqrt{2}=-\frac{\,a\,}{\,b\,}$$ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で$$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$[終]
\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で$$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$[終]
\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)
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