数研出版：新編数学Ⅰ[714]

p.61 研究練習1\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{2,6\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}\)

解法のPoint｜集合の共通部分と和集合

p.62 練習10\({\small (1)}~\)偽　　\({\small (2)}~\)真

p.63 練習11\({\small (1)}~\)真　　\({\small (2)}~\)偽　　\({\small (3)}~\)真

p.64 練習12\({\small (1)}~\)真　　\({\small (2)}~\)偽

p.64 練習13\(n=2\) のとき、素数であるが奇数ではない
したがって、偽となる

p.65 練習14\({\small (1)}~\)十分　　\({\small (2)}~\)必要

p.66 練習15　①、③

解法のPoint｜必要条件と十分条件

p.66 練習16\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件でない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件でない

p.66 練習17\({\small (1)}~n\) は奇数である
\({\small (2)}~n\) は５以上である

解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定

p.66 深める　(例) \(q\) ： \(n\) は \(3\) の倍数

p.67 練習18\({\small (1)}~a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
\({\small (2)}~a\neq 0\) かつ \(b\neq 0\)

解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定

p.67 練習19\({\small (1)}~a~,~b\) はともに無理数である
\({\small (2)}~a~,~b\) のうち少なくとも一方が無理数である

解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定

p.68 練習20\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
　\(a-b\gt 0~\Rightarrow~a\gt b\)、真
対偶は、
　\(a-b{\small ~≦~}0~\Rightarrow~a{\small ~≦~}b\)、真
裏は、
　\(a{\small ~≦~}b~\Rightarrow~a-b{\small ~≦~}0\)、真

\({\small (2)}~\)命題は真
逆は、
　\(ab=0~\Rightarrow~a=0\)、偽
対偶は、
　\(ab\neq 0~\Rightarrow~a\neq 0\)、真
裏は、
　\(a\neq 0~\Rightarrow~ab\neq 0\)、偽

p.69 練習21\({\small (1)}~\)命題は真であり、
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m\) は４の倍数でない」
これも真となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する
\({\small (2)}~\)命題は \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
この命題の対偶は、
「\(m\) は奇数かつ \(n\) は奇数 \(~\Rightarrow~\) \(m+n\) は奇数」
これも \(m=1~,~n=3\) のときが反例となり、偽となる
したがって、命題とその対偶の真偽は一致する

p.70 練習22命題「\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、

　「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」

[証明] \(n\) が偶数のとき、

整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる

よって、\(n^2\) は、

\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)

\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である

これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である

したがって、

　\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]

p.70 練習23[証明] 「\(1+3\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、

\(1+3\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、

\(\begin{eqnarray}~~~1+3\sqrt{2}&=&r\\[3pt]~~~3\sqrt{2}&=&r-1\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する

したがって、\(1+3\sqrt{2}\) は有理数でないので、

　\(1+3\sqrt{2}\) は無理数である [終]

補充問題

p.73 補充問題 1\({\small (1)}~\)（c）　　\({\small (2)}~\)（d）

p.73 補充問題 2対偶は、「\(a~,~b\) はともに有理数 \(\Longrightarrow\) \(a+b\) は有理数」で真

章末問題　集合と論理

p.74 章末問題A 1\({\small (1)}~\in\)　　\({\small (2)}~\subset\)　　\({\small (3)}~\subset\)
\({\small (4)}~\cup\)　　\({\small (5)}~\cap\)

解法のPoint｜集合と属する要素

解法のPoint｜部分集合の表し方

p.74 章末問題A 2　\(A=\{1~,~3~,~5~,~9\}~,~B=\{1~,~6~,~8~,~9\}\)

p.74 章末問題A 3\({\small (1)}~\left\{x\left|\,-1{\small ~≦~}x \lt -\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\right.\right\}\)
\({\small (2)}~\{x\,|\,x{\small ~≦~}2\}\)
\({\small (3)}~\{x\,|\,x \gt 2\}\)

解法のPoint｜不等式で表される集合

p.74 章末問題A 4\({\small (1)}~\)（c）　　\({\small (2)}~\)（a）

p.74 章末問題A 5逆は、「\(m~,~n~,~k\) の少なくとも1つは偶数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は偶数」で真

対偶は、「\(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は奇数」で真

裏は、「積 \(mnk\) は奇数 \(\Longrightarrow\) \(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数」で真

p.75 章末問題B 6\({\small (1)}~x \in A\)

解法のPoint｜集合と属する要素
\({\small (2)}~\{x\} \subset A\)

解法のPoint｜部分集合の表し方
\({\small (3)}~A \cup B \subset \overline{C}\)

解法のPoint｜集合の共通部分と和集合

解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則

p.75 章末問題B 7\({\small (1)}~\)（d）、（e）　　\({\small (2)}~\)（b）、（e）

p.75 章末問題B 8命題「\(m^2+n^2\) が偶数ならば、\(m+n\) は偶数」の対偶は、

　「\(m+n\) が奇数ならば \(m^2+n^2\) は奇数である」

[証明] \(m+n\) が奇数のとき、

整数 \(k\) を用いて、\(m+n=2k+1\) と表せる

両辺を \(2\) 乗すると、

\(\begin{eqnarray}~~~(m+n)^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~m^2+2mn+n^2&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~m^2+n^2&=&4k^2+4k+1-2mn\\[3pt]~~~m^2+n^2&=&2(2k^2+2k-mn)+1\end{eqnarray}\)

\(2k^2+2k-mn\) は整数であり、\(m^2+n^2\) は奇数である

これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である

したがって、

　\(m^2+n^2\) が偶数ならば、\(m+n\) は偶数である [終]

p.75 章末問題B 9\({\small (1)}~\)[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、

\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)

\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する

よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、

　\(b=0\) が成り立つ

また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)

したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、

　\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]

\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)