このページは、数研出版:新編数学Ⅰ[714]
第3章 2次関数
第3章 2次関数
教科書の復習から入試の入門まで|数学入門問題精講
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新編数学Ⅰ 第1章 数と式
新編数学Ⅰ 第2章 集合と命題
新編数学Ⅰ 第3章 2次関数
新編数学Ⅰ 第4章 図形と計量
新編数学Ⅰ 第5章 データの分析
第3章 2次関数
第1節 2次関数とグラフ
p.79 練習1$$~~~y=2x~(x≧4)$$
p.79 練習2$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~4$$$${\small (4)}~9$$$${\small (5)}~a^2+2a+1$$$${\small (6)}~a^2$$
p.80 練習3$${\small (1)}~a=4~,~b=0$$$${\small (2)}~a=-3~,~b=2$$→ 関数の値と象限
p.81 練習4\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~-1≦y≦5\)
\({\small (3)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(5\)
\(~~~~~\)\(x=2\) で最小値 \(-1\)
→ 関数の値域と最大値・最小値
\({\small (2)}~-1≦y≦5\)
\({\small (3)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(5\)
\(~~~~~\)\(x=2\) で最小値 \(-1\)
→ 関数の値域と最大値・最小値
p.82 研究 練習1\({\small (1)}~\)第1象限
\({\small (2)}~\)第4象限
\({\small (3)}~\)第2象限
\({\small (4)}~\)第3象限
→ 関数の値と象限
\({\small (2)}~\)第4象限
\({\small (3)}~\)第2象限
\({\small (4)}~\)第3象限
→ 関数の値と象限
p.82 研究 練習2$${\small (1)}~{\rm Q}(3~,~1)$$$${\small (2)}~{\rm R}(-3~,~-1)$$$${\small (3)}~{\rm S}(-3~,~1)$$
p.84練習5\({\small (1)}~\)下に凸
\({\small (2)}~\)上に凸
\({\small (3)}~\)下に凸
\({\small (4)}~\)上に凸
\({\small (2)}~\)上に凸
\({\small (3)}~\)下に凸
\({\small (4)}~\)上に凸
p.84 深める\(a>0\) のとき、
\(a\) の値が大きくなると開き具合が広くなる
\(a\) の値が \(0\) に近づくと開き具合が狭くなる
\(a<0\) のとき、
\(a\) の値が小さくなると開き具合が広くなる
\(a\) の値が \(0\) に近づくと開き具合が狭くなる
\(a\) の値が大きくなると開き具合が広くなる
\(a\) の値が \(0\) に近づくと開き具合が狭くなる
\(a<0\) のとき、
\(a\) の値が小さくなると開き具合が広くなる
\(a\) の値が \(0\) に近づくと開き具合が狭くなる
p.85 練習6\({\small (1)}~\)軸は \(y\) 軸、頂点 \((0~,~3)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(y\) 軸、頂点 \((0~,~-1)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(y\) 軸、頂点 \((0~,~-2)\)
p.87 練習7\({\small (1)}~\)軸は \(x=2\)、頂点 \((2~,~0)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=-1\)、頂点 \((-1~,~0)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=3\)、頂点 \((3~,~0)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~0)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=-1\)、頂点 \((-1~,~0)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=3\)、頂点 \((3~,~0)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~0)\)
p.89 練習8\({\small (1)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \((1~,~2)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=2\)、頂点 \((2~,~-4)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=-1\)、頂点 \((-1~,~2)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~-1)\)
→ 2次関数のグラフ
\({\small (2)}~\)軸は \(x=2\)、頂点 \((2~,~-4)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=-1\)、頂点 \((-1~,~2)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~-1)\)
→ 2次関数のグラフ
p.89 練習9$${\small (1)}~y=-3(x-4)^2+2$$$${\small (2)}~y=-3(x-4)^2-2$$$${\small (3)}~y=-3(x+4)^2+2$$
p.90 練習10$${\small (1)}~(x+4)^2-16$$$${\small (2)}~(x-2)^2-4$$$${\small (3)}~(x+3)^2-1$$$${\small (4)}~(x-4)^2-6$$$${\small (5)}~\left(x+{ \frac{\,5\,}{\,2\,}}\right)^2-{ \frac{\,25\,}{\,4\,}}$$$${\small (6)}~\left(x-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)^2+{ \frac{\,3\,}{\,4\,}}$$$${\small (7)}~\left(x+{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)^2-{ \frac{\,9\,}{\,4\,}}$$$${\small (8)}~\left(x-{ \frac{\,7\,}{\,2\,}}\right)^2-{ \frac{\,1\,}{\,4\,}}$$→ 2次関数の平方完成
p.91 練習11$${\small (1)}~2(x-2)^2-11$$$${\small (2)}~3\left(x+{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\right)^2-{ \frac{\,11\,}{\,4\,}}$$$${\small (3)}~-2(x-1)^2+5$$$${\small (4)}~-2\left(x+{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\right)^2+{ \frac{\,11\,}{\,2\,}}$$
p.92 練習12\({\small (1)}~\)軸は \(x=3\)、頂点 \((3~,~-4)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~-5)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \((1~,~4)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~6)\)
\({\small (5)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~-{\large \frac{\,11\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (6)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~{\large \frac{\,9\,}{\,4\,}}\right)\)
→ 2次関数の平方完成
\({\small (2)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~-5)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \((1~,~4)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-2\)、頂点 \((-2~,~6)\)
\({\small (5)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~-{\large \frac{\,11\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (6)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~{\large \frac{\,9\,}{\,4\,}}\right)\)
→ 2次関数の平方完成
p.93 練習1\({\small (1)}~\)\(x\) 軸方向に \(-1\)、\(y\) 軸方向に \(2\)
\({\small (2)}~\)\(x\) 軸方向に \(-2\)、\(y\) 軸方向に \(-3\)
→ 2次関数のグラフの平行移動
\({\small (2)}~\)\(x\) 軸方向に \(-2\)、\(y\) 軸方向に \(-3\)
→ 2次関数のグラフの平行移動
p.94 研究 練習1$$~~~y=2x^2+3x+2$$→ 平行移動後のグラフ
p.96 補充問題2\({\small (1)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \((1~,~0)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \(\left(1~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,4\,}}\right)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}\)、頂点 \(\left(-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}~,~-{\large \frac{\,49\,}{\,8\,}}\right)\)
\({\small (2)}~\)軸は \(x=1\)、頂点 \(\left(1~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (3)}~\)軸は \(x={\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\)、頂点 \(\left({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,4\,}}\right)\)
\({\small (4)}~\)軸は \(x=-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}\)、頂点 \(\left(-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}~,~-{\large \frac{\,49\,}{\,8\,}}\right)\)
第2節 2次関数の値の変化
p.97 練習14\({\small (1)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(4~(x=3)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(-3~(x=-1)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\(~~~~~\)最小値 \(4~(x=3)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(-3~(x=-1)\)
\(~~~~~\)最小値なし
p.98 練習15\({\small (1)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-4~(x=3)\)
\({\small (2)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=-1)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(6~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\({\small (4)}~\)最大値 \(8~(x=2)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\({\small (5)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}~\left(x=-{\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (6)}~\)最大値 \({\large \frac{\,25\,}{\,8\,}}~\left(x={\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}\right)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-4~(x=3)\)
\({\small (2)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=-1)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(6~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\({\small (4)}~\)最大値 \(8~(x=2)\)
\(~~~~~\)最小値なし
\({\small (5)}~\)最大値なし
\(~~~~~\)最小値 \(-{\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}~\left(x=-{\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (6)}~\)最大値 \({\large \frac{\,25\,}{\,8\,}}~\left(x={\large \frac{\,5\,}{\,4\,}}\right)\)
\(~~~~~\)最小値なし
p.98 深める$$~~~y=x^2-2x+1$$
p.99 練習16\({\small (1)}~\)\(2≦y≦8\)
\(~~~~~\)最大値 \(8~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(2~(x=-1)\)
\({\small (2)}~\)\(-8≦y≦0\)
\(~~~~~\)最大値 \(0~(x=0)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-8~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最大値 \(8~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(2~(x=-1)\)
\({\small (2)}~\)\(-8≦y≦0\)
\(~~~~~\)最大値 \(0~(x=0)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-8~(x=-2)\)
p.100 練習17\({\small (1)}~\)最大値 \(13~(x=-2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-2~(x=1)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(1~(x=4)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=2)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(6~(x=5)\)
\(~~~~~\)最小値 \(1~(x=4)\)
\({\small (4)}~\)最大値 \(1~(x=0,4)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-2~(x=1)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(1~(x=4)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=2)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(6~(x=5)\)
\(~~~~~\)最小値 \(1~(x=4)\)
\({\small (4)}~\)最大値 \(1~(x=0,4)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=2)\)
p.100 練習18\({\small (1)}~\)最大値 \(6~(x=3)\)
\(~~~~~\)最小値 \(2~(x=1)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(1~(x=2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=4)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(44~(x=3)\)
\(~~~~~\)最小値 \(8~(x=1)\)
\({\small (4)}~\)最大値 \({\large \frac{\,49\,}{\,2\,}}~\left(x={\large \frac{\,7\,}{\,2\,}}\right)\)
\(~~~~~\)最小値 \(0~(x=0,7)\)
→ 2次関数の最大値・最小値
\(~~~~~\)最小値 \(2~(x=1)\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(1~(x=2)\)
\(~~~~~\)最小値 \(-3~(x=4)\)
\({\small (3)}~\)最大値 \(44~(x=3)\)
\(~~~~~\)最小値 \(8~(x=1)\)
\({\small (4)}~\)最大値 \({\large \frac{\,49\,}{\,2\,}}~\left(x={\large \frac{\,7\,}{\,2\,}}\right)\)
\(~~~~~\)最小値 \(0~(x=0,7)\)
→ 2次関数の最大値・最小値
p.101 練習19$${\small (1)}~c=-3$$$${\small (2)}~c=-12$$→ 2次関数の決定③(最大値・最小値)
p.102 練習20$$~~~{ \frac{25}{2}}~({\rm cm}^2)$$→ 最大値・最小値の文章問題
p.103 研究 練習1\(0<a<1\) のとき
\(x=a\) で最大値 \(-a^2+2a+1\)
\(1≦a\) のとき
\(x=1\) で最大値 \(2\)
→ 定義域が変化する2次関数の最大値・最小値
\(x=a\) で最大値 \(-a^2+2a+1\)
\(1≦a\) のとき
\(x=1\) で最大値 \(2\)
→ 定義域が変化する2次関数の最大値・最小値
p.104 練習21$${\small (1)}~y=2(x-1)^2-3$$$${\small (2)}~y=-2(x+1)^2+7$$→ 2次関数の決定①(頂点)
p.106 練習22$$~~~a=-1~,~b=4~,~c=6$$
p.106 練習23$$~~~y=2x^2-3x-4$$→ 2次関数の決定②(3点を通る)
第3節 2次方程式と2次不等式
p.108 練習24$${\small (1)}~x=0~,~-4$$$${\small (2)}~x=2~,~3$$$${\small (3)}~x=-1~,~-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}$$$${\small (4)}~x=2~,~-{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}$$
p.109 練習25$${\small (1)}~x={ \frac{\,-7\pm\sqrt{33}\,}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~x={ \frac{\,-5\pm\sqrt{37}\,}{\,6\,}}$$$${\small (3)}~x=3~,~-{ \frac{\,1\,}{\,3\,}}$$$${\small (4)}~x={ \frac{\,2\,}{\,3\,}}$$
p.110 練習26$${\small (1)}~x=-1\pm\sqrt{3}$$$${\small (2)}~x={ \frac{\,2\pm\sqrt{10}\,}{\,3\,}}$$→ 2次方程式の解
p.111 練習27\({\small (1)}~\)2個
\({\small (2)}~\)0個
\({\small (3)}~\)1個
\({\small (4)}~\)1個
→ 2次方程式の解の個数
\({\small (2)}~\)0個
\({\small (3)}~\)1個
\({\small (4)}~\)1個
→ 2次方程式の解の個数
p.112 練習28$$~~~m>4$$→ 2次方程式の解の条件
p.114 練習30$${\small (1)}~(-2~,~0)~,~(3~,~0)$$$${\small (2)}~\left({ \frac{\,3+\sqrt{5}\,}{\,2\,}}~,~0\right)~,~\left({ \frac{\,3-\sqrt{5}\,}{\,2\,}}~,~0\right)$$$${\small (3)}~(-1~,~0)$$$${\small (4)}~(3~,~0)~,~\left(-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~0\right)$$\(x\) 軸と接する のは \({\small (3)}\)
→ 2次関数とx軸との交点
→ 2次関数とx軸との交点
p.116 練習31\({\small (1)}~\)0個
\({\small (2)}~\)2個
\({\small (3)}~\)1個
\({\small (2)}~\)2個
\({\small (3)}~\)1個
p.116 練習32$${\small (1)}~m<{ \frac{\,17\,}{\,4\,}}$$$${\small (2)}~m>{ \frac{\,17\,}{\,4\,}}$$→ 2次関数とx軸との交点の条件
p.117 発展 練習1$${\small (1)}~(3~,~1)~,~(5~,~5)$$$${\small (2)}~(2~,~2)$$→ 放物線と直線の交点
p.118 練習33\({\small (1)}~\)\(x<-2\)
\({\small (2)}~\)\(x<2\)
\({\small (3)}~\)\(x≧{\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\)
\({\small (2)}~\)\(x<2\)
\({\small (3)}~\)\(x≧{\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\)
p.120 練習34$${\small (1)}~x<1~,~3<x$$$${\small (2)}~-2<x<5$$$${\small (3)}~x≦-1~,~2≦x$$$${\small (4)}~-1≦x≦0$$
p.120 練習35$${\small (1)}~x<2~,~3<x$$$${\small (2)}~-3<x<4$$$${\small (3)}~x≦-4~,~0≦x$$$${\small (4)}~-3≦x≦3$$→ 2次不等式の解①(因数分解)
p.121 練習36$${\small (1)}~x≦{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~2≦x$$$${\small (2)}~-{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}<x<-1$$$${\small (3)}~-1-\sqrt{2}≦x≦-1+\sqrt{2}$$$${\small (4)}~x<-\sqrt{5}~,~\sqrt{5}<x$$→ 2次不等式の解③(解の公式)
p.121 練習37$${\small (1)}~x<-{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~1<x$$$${\small (2)}~{ \frac{\,5-\sqrt{13}\,}{\,6\,}}≦x≦{ \frac{\,5+\sqrt{13}\,}{\,6\,}}$$
p.122 練習38\({\small (1)}~x=2\) 以外のすべての実数
\({\small (2)}~\)すべての実数
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~x=-4\)
\({\small (5)}~x={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) 以外のすべての実数
\({\small (6)}~\)すべての実数
→ 2次不等式の解②(x軸と接する)
\({\small (2)}~\)すべての実数
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~x=-4\)
\({\small (5)}~x={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) 以外のすべての実数
\({\small (6)}~\)すべての実数
→ 2次不等式の解②(x軸と接する)
p.123 練習39\({\small (1)}~\)すべての実数
\({\small (2)}~\)すべての実数
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~\)解なし
→ 2次不等式の解④(交点がない)
\({\small (2)}~\)すべての実数
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~\)解なし
→ 2次不等式の解④(交点がない)
p.124 練習40\({\small (1)}~\)すべての実数
\({\small (2)}~\)解なし
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~x={\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}\)
\({\small (5)}~x≦-2~,~3≦x\)
\({\small (6)}~-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}\)
\({\small (2)}~\)解なし
\({\small (3)}~\)解なし
\({\small (4)}~x={\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}\)
\({\small (5)}~x≦-2~,~3≦x\)
\({\small (6)}~-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}\)
p.125 練習41$${\small (1)}~m< -\sqrt{3}~,~\sqrt{3}< m$$$${\small (2)}~-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}$$
p.126 練習42$$~~~2<m<10$$→ 絶対不等式
p.127 練習43$${\small (1)}~3<x≦4$$$${\small (2)}~-6<x≦-5~,~-2≦x<2$$→ 連立2次不等式の解
p.127 練習44$${\small (1)}~-4≦x≦-2~,~-1≦x≦1$$$${\small (2)}~2<x≦3$$→ 連立2次不等式の解
p.128 研究 練習1$$~~~\frac{\,3\,}{\,4\,}< m<\frac{\,6\,}{\,5\,}$$
次のページ「第4章 図形と計量」