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第１章 数と式
第２章 集合と命題
第３章 ２次関数
第４章 図形と計量
第５章 データの分析
第２章 集合と命題
p.52 練習1$${\small (1)}~\in$$$${\small (2)}~\notin$$$${\small (3)}~\in$$
p.53 練習2$${\small (1)}~{\rm F}=\{1~,~2~,~3~,~6~,~9~,~18\}$$$${\small (2)}~{\rm G}=\{-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\}$$$${\small (3)}~{\rm H}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\}$$→ 集合の表し方と要素
p.53 深める\({\small (1)}~{\rm B}=\{x~|~x\) は \(99\) 以下の正の奇数 \(\}\)
\({\small (2)}~{\rm C}=\{5n~|~n=1~,~2~,~3~,~\cdots\}\)
\({\small (2)}~{\rm C}=\{5n~|~n=1~,~2~,~3~,~\cdots\}\)
p.54 練習3$${\small (1)}~{\rm B\subset A}$$$${\small (2)}~{\rm A=C}$$$${\small (3)}~{\rm A\subset D}$$
p.55 練習4$$~~~\phi~,~\{1\}~,~ \{2\}~,~ \{3\}$$$$~~~~~~~~,~\{1,2\}~,~ \{2,3\}~,~ \{1,3\}~,~ \{1,2,3\}$$→ 集合の包含関係と部分集合
p.55 練習5\({\small (1)}~\)$$~~~{\rm A\cap B}=\{5,15\}$$$$~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}$$\({\small (2)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{x|-1<x≦2~,~x\) は実数 \(\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{x|-2≦x<3~,~x\) は実数 \(\}\)
→ 共通部分と和集合
\(~~~{\rm A\cap B}=\{x|-1<x≦2~,~x\) は実数 \(\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{x|-2≦x<3~,~x\) は実数 \(\}\)
→ 共通部分と和集合
p.56 問1$$~~~{\rm A\cap B\cap C}=\{3,5\}$$$$~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}$$
p.56 練習6$$~~~{\rm A\cap B\cap C}=\{1,2,3,6\}$$$$~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}$$
p.57 練習7$${\small (1)}~\{1,4,6,8,9\}$$$${\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}$$$${\small (3)}~\{1,6,8,9\}$$$${\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}$$$${\small (5)}~\{4\}$$$${\small (6)}~\{2,7\}$$$${\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$$${\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}$$→ 補集合とド・モルガンの法則
p.57 練習8全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
p.57 練習9[証明]$$\begin{eqnarray}~~~{\rm U}&=&\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\[2pt]~~~{\rm A}&=&\{2,4,6,8\}\\[2pt]~~~{\rm B}&=&\{3,6,9\}\\[2pt]~~~{\rm \overline {A}}&=&\{1,3,5,7,9\}\\[2pt]~~~{\rm \overline {B}}&=&\{1,2,4,5,7,8\}\end{eqnarray}$$これらより、$$~~~{\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}$$この否定は、$$~~~{\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}$$また、$$~~~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}$$したがって、$$~~~{\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}$$次に、$$~~~{\rm A\cap B}=\{6\}$$この否定は、$$~~~{\rm \overline {A\cap B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}$$また、$$~~~{\rm \overline {A}\cup \overline {B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}$$したがって、$$~~~{\rm \overline {A\cap B}}={\rm \overline {A}\cup \overline {B}}$$[終]
p.58 深める正しいか正しくないか正確に決まらないので、命題ではない
( \(10000\) より大きい数から比べてみたら、\(10000\) は大きい数とはいえない )
( \(10000\) より大きい数から比べてみたら、\(10000\) は大きい数とはいえない )
p.60 練習11\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
\({\small (2)}~\)偽
p.61 深める(例)$${\small (1)}~2<x < 3$$$${\small (2)}~0<x < 5$$
p.62 練習13\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
→ 必要条件と十分条件
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
→ 必要条件と十分条件
p.62 練習14\({\small (1)}~x>-3\)
\({\small (2)}~x+y≦0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
\({\small (2)}~x+y≦0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
p.63 練習15\({\small (1)}~x=0\) または \(y=0\)
\({\small (2)}~2<x<5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
→ 条件の否定①（かつ・または）
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
\({\small (2)}~2<x<5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
→ 条件の否定①（かつ・または）
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
p.64 練習16\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x>0\) かつ \(y>0~\Rightarrow~xy>0\)、真
対偶は、
\(x≦0\) または \(y≦0~\Rightarrow~xy≦0\)、偽
裏は、
\(xy≦0~\Rightarrow~x≦0\) または \(y≦0\)、真
→ 逆と裏と対偶
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x>0\) かつ \(y>0~\Rightarrow~xy>0\)、真
対偶は、
\(x≦0\) または \(y≦0~\Rightarrow~xy≦0\)、偽
裏は、
\(xy≦0~\Rightarrow~x≦0\) または \(y≦0\)、真
→ 逆と裏と対偶
p.65 練習17[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2$$\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる [終]
→ 対偶法
\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2$$\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる [終]
→ 対偶法
p.66 練習18[証明]
この命題の対偶は、
\(x≦0\) かつ \(y≦0~\Rightarrow~x+y≦0\)
ここで、\(x≦0\) の両辺に \(y\) を加えると、$$~~~x+y≦y$$また、\(y≦0\) より、$$~~~x+y≦y≦0$$よって、$$~~~x+y≦0$$したがって、対偶が真となるので命題も真である [終]
→ 対偶法
この命題の対偶は、
\(x≦0\) かつ \(y≦0~\Rightarrow~x+y≦0\)
ここで、\(x≦0\) の両辺に \(y\) を加えると、$$~~~x+y≦y$$また、\(y≦0\) より、$$~~~x+y≦y≦0$$よって、$$~~~x+y≦0$$したがって、対偶が真となるので命題も真である [終]
→ 対偶法
p.66 練習19[証明] \(\sqrt{\pi}\) が無理数でないと仮定すると、\(\sqrt{\pi}\) は有理数である
\(r\) を有理数とすると、$$~~~\sqrt{\pi}=r$$両辺を２乗すると、$$~~~\pi=r^2$$\(r\) が有理数より、\(r^2\) は有理数である
これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
→ 背理法
\(r\) を有理数とすると、$$~~~\sqrt{\pi}=r$$両辺を２乗すると、$$~~~\pi=r^2$$\(r\) が有理数より、\(r^2\) は有理数である
これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
→ 背理法
p.67 練習20[証明] \(\sqrt{3}\) が無理数でないと仮定すると、 \(\sqrt{3}\) は有理数である
これより、\(1\) 以外の正の約数をもたない２つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、$$~~~\sqrt{3}=\frac{\,a\,}{\,b\,}$$と表される
よって、$$~~~a=\sqrt{3}b$$両辺を２乗すると、$$~~~a^2=3b^2$$これより、\(a^2\) が３の倍数であり \(a\) も３の倍数である
また、自然数 \(c\) を用いて \(a=3c\) とすると、$$~~~9c^2=3b^2$$よって、$$~~~b^2=3c^2$$これより、\(b^2\) が３の倍数であり \(b\) も３の倍数である
よって、\(a~,~b\) はともに３の倍数となり \(1\) 以外の正の約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
→ 背理法
これより、\(1\) 以外の正の約数をもたない２つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、$$~~~\sqrt{3}=\frac{\,a\,}{\,b\,}$$と表される
よって、$$~~~a=\sqrt{3}b$$両辺を２乗すると、$$~~~a^2=3b^2$$これより、\(a^2\) が３の倍数であり \(a\) も３の倍数である
また、自然数 \(c\) を用いて \(a=3c\) とすると、$$~~~9c^2=3b^2$$よって、$$~~~b^2=3c^2$$これより、\(b^2\) が３の倍数であり \(b\) も３の倍数である
よって、\(a~,~b\) はともに３の倍数となり \(1\) 以外の正の約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
→ 背理法
p.68 発展 例題1\({\small (1)}~\)命題は偽
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1≦0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1≦0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
→ 条件の否定②（すべて・少なくとも）
p.69 問題 3[証明] この命題の対偶は、
「 \(n\) が３の倍数でないならば、\(n^2\) は３の倍数でない」
\(k\) を整数とすると、
( ⅰ ) \(n=3k+1\) のとき$$\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[2pt]&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}$$よって、\(n^2\) は３の倍数でない
( ⅱ ) \(n=3k+2\) のとき$$\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[2pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}$$よって、\(n^2\) は３の倍数でない
したがって、対偶が真となるのでもとの命題も真となる [終]
「 \(n\) が３の倍数でないならば、\(n^2\) は３の倍数でない」
\(k\) を整数とすると、
( ⅰ ) \(n=3k+1\) のとき$$\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[2pt]&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}$$よって、\(n^2\) は３の倍数でない
( ⅱ ) \(n=3k+2\) のとき$$\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[2pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}$$よって、\(n^2\) は３の倍数でない
したがって、対偶が真となるのでもとの命題も真となる [終]
p.69 問題 4\({\small (1)}~\)[証明] \(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より$$~~~\sqrt{2}=-\frac{\,a\,}{\,b\,}$$ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で$$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$[終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で$$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$[終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
p.70 演習問題Ａ 4[証明] \(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) が存在すると仮定すると、$$~~~x^2-y^2=1$$因数分解すると、$$~~~(x+y)(x-y)=1$$ここで、\(x+y~,~x-y\) は整数より、
\(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
または
\(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
のときとなる
( ⅰ ) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき
すなわち \(x=1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
( ⅱ ) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき
すなわち \(x=-1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) は存在しない [終]
\(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
または
\(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
のときとなる
( ⅰ ) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき
すなわち \(x=1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
( ⅱ ) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき
すなわち \(x=-1~,~y=0\)
これは \(x~,~y\) が自然数に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) は存在しない [終]
p.71 演習問題Ｂ 5\({\small (2)}~\)真
[証明] この命題の対偶は、
「 \(a+b~,~a-b\) がともに有理数ならば、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である」
\(p~,~q\) を有理数とすると、$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
a+b=p ~&\cdots{\large ①}\\
a-b=q ~&\cdots{\large ②}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$①、②を解くと、$$~~~a=\frac{\,p+q\,}{\,2\,}~,~b=\frac{\,p-q\,}{\,2\,}$$\(p~,~q\) は有理数であるから、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である
したがって、対偶が真であるから、もとの命題も真であるから [終]
[証明] この命題の対偶は、
「 \(a+b~,~a-b\) がともに有理数ならば、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である」
\(p~,~q\) を有理数とすると、$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
a+b=p ~&\cdots{\large ①}\\
a-b=q ~&\cdots{\large ②}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$①、②を解くと、$$~~~a=\frac{\,p+q\,}{\,2\,}~,~b=\frac{\,p-q\,}{\,2\,}$$\(p~,~q\) は有理数であるから、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である
したがって、対偶が真であるから、もとの命題も真であるから [終]
p.71 演習問題Ｂ 6[証明] \(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数であるの否定は、
「 \(a~,~b~,~c\) はすべて奇数である」
整数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、$$\begin{eqnarray}~~~a&=&2l+1\\[2pt]~~~b&=&2m+1\\[2pt]~~~c&=&2n+1\end{eqnarray}$$これらを \(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、$$~~~(2l+1)^2+(2m+1)^2=(2n+1)^2$$式変形すると、$$\begin{eqnarray}~~~&2(2l^2+2l+2m^2+2m+1)\\[2pt]&~~~~~~~~~~~~=2(2n^2+2n)+1\end{eqnarray}$$この式は、左辺は偶数で右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数である [終]
「 \(a~,~b~,~c\) はすべて奇数である」
整数 \(l~,~m~,~n\) を用いて、$$\begin{eqnarray}~~~a&=&2l+1\\[2pt]~~~b&=&2m+1\\[2pt]~~~c&=&2n+1\end{eqnarray}$$これらを \(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、$$~~~(2l+1)^2+(2m+1)^2=(2n+1)^2$$式変形すると、$$\begin{eqnarray}~~~&2(2l^2+2l+2m^2+2m+1)\\[2pt]&~~~~~~~~~~~~=2(2n^2+2n)+1\end{eqnarray}$$この式は、左辺は偶数で右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも１つは偶数である [終]
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