このページは、数研出版：数学Ⅰ[712]
第２章 集合と命題
第２章 集合と命題
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
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数研出版数学Ⅰ 第１章 数と式
数研出版数学Ⅰ 第２章 集合と命題
数研出版数学Ⅰ 第３章 ２次関数
数研出版数学Ⅰ 第４章 図形と計量
数研出版数学Ⅰ 第５章 データの分析
第２章 集合と命題
p.53 練習2\({\small (1)}~{\rm F}=\{1~,~2~,~3~,~6~,~9~,~18\}\)
\({\small (2)}~{\rm G}=\{-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\}\)
\({\small (3)}~{\rm H}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
\({\small (2)}~{\rm G}=\{-2~,~-1~,~0~,~1~,~2\}\)
\({\small (3)}~{\rm H}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
p.53 深める\({\small (1)}~{\rm B}=\{x~|~x\) は \(99\) 以下の正の奇数 \(\}\)
\({\small (2)}~{\rm C}=\{5n~|~n=1~,~2~,~3~,~\cdots\}\)
\({\small (2)}~{\rm C}=\{5n~|~n=1~,~2~,~3~,~\cdots\}\)
p.54 練習3\({\small (1)}~{\rm B\subset A}\) \({\small (2)}~{\rm A=C}\) \({\small (3)}~{\rm A\subset D}\)
解法のPoint｜部分集合の表し方
解法のPoint｜部分集合の表し方
p.55 練習4\(~~~\phi~,~\{1\}~,~ \{2\}~,~ \{3\}\)
\(~~~~~~~~,~\{1,2\}~,~ \{2,3\}~,~ \{1,3\}~,~ \{1,2,3\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
\(~~~~~~~~,~\{1,2\}~,~ \{2,3\}~,~ \{1,3\}~,~ \{1,2,3\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
p.55 練習5\({\small (1)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{5,15\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\({\small (2)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{x|-1\lt x{\small ~≦~}2~,~x\) は実数 \(\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{x|-2{\small ~≦~}x\lt 3~,~x\) は実数 \(\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
\(~~~{\rm A\cap B}=\{5,15\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\({\small (2)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{x|-1\lt x{\small ~≦~}2~,~x\) は実数 \(\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{x|-2{\small ~≦~}x\lt 3~,~x\) は実数 \(\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
p.56 問1\(~~~{\rm A\cap B\cap C}=\{3,5\}\)
\(~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.56 練習6\(~~~{\rm A\cap B\cap C}=\{1,2,3,6\}\)
\(~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\(~~~{\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.57 練習7\({\small (1)}~\{1,4,6,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{1,6,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (5)}~\{4\}\)
\({\small (6)}~\{2,7\}\)
\({\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{1,6,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (5)}~\{4\}\)
\({\small (6)}~\{2,7\}\)
\({\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.57 練習8[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.57 練習9[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm U}&=&\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\[3pt]~~~{\rm A}&=&\{2,4,6,8\}\\[3pt]~~~{\rm B}&=&\{3,6,9\}\\[3pt]~~~{\rm \overline {A}}&=&\{1,3,5,7,9\}\\[3pt]~~~{\rm \overline {B}}&=&\{1,2,4,5,7,8\}\end{eqnarray}\)
これらより、
\(~~~{\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}\)
この否定は、
\(~~~{\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}\)
また、
\(~~~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}\)
したがって、
\(~~~{\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}\)
次に、
\(~~~{\rm A\cap B}=\{6\}\)
この否定は、
\(~~~{\rm \overline {A\cap B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
また、
\(~~~{\rm \overline {A}\cup \overline {B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
したがって、
\(~~~{\rm \overline {A\cap B}}={\rm \overline {A}\cup \overline {B}}\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm U}&=&\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\[3pt]~~~{\rm A}&=&\{2,4,6,8\}\\[3pt]~~~{\rm B}&=&\{3,6,9\}\\[3pt]~~~{\rm \overline {A}}&=&\{1,3,5,7,9\}\\[3pt]~~~{\rm \overline {B}}&=&\{1,2,4,5,7,8\}\end{eqnarray}\)
これらより、
\(~~~{\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}\)
この否定は、
\(~~~{\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}\)
また、
\(~~~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}\)
したがって、
\(~~~{\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}\)
次に、
\(~~~{\rm A\cap B}=\{6\}\)
この否定は、
\(~~~{\rm \overline {A\cap B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
また、
\(~~~{\rm \overline {A}\cup \overline {B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
したがって、
\(~~~{\rm \overline {A\cap B}}={\rm \overline {A}\cup \overline {B}}\)
[終]
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p.58 深める正しいか正しくないか正確に決まらないので、命題ではない
( \(10000\) より大きい数から比べてみたら、\(10000\) は大きい数とはいえない )
( \(10000\) より大きい数から比べてみたら、\(10000\) は大きい数とはいえない )
p.61 深める(例)\({\small (1)}~2\lt x \lt 3\)
\({\small (2)}~0\lt x \lt 5\)
\({\small (2)}~0\lt x \lt 5\)
p.62 練習13\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (4)}~\)必要十分条件である
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p.62 練習14\({\small (1)}~x\gt -3\)
\({\small (2)}~x+y{\small ~≦~}0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x+y{\small ~≦~}0\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.63 練習15\({\small (1)}~x=0\) または \(y=0\)
\({\small (2)}~2\lt x\lt 5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~2\lt x\lt 5\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.64 練習16\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0~\Rightarrow~xy\gt 0\)、真
対偶は、
\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0~\Rightarrow~xy{\small ~≦~}0\)、偽
裏は、
\(xy{\small ~≦~}0~\Rightarrow~x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0\)、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
逆は、
\(xy=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
対偶は、
\(xy\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
裏は、
\(x\neq0~\Rightarrow~xy\neq0\)、偽
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0~\Rightarrow~xy\gt 0\)、真
対偶は、
\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0~\Rightarrow~xy{\small ~≦~}0\)、偽
裏は、
\(xy{\small ~≦~}0~\Rightarrow~x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0\)、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.65 練習17命題「\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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p.66 練習18命題「\(x+y \gt 0 \Rightarrow\) \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\)」の対偶は、
「\(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) \(\Rightarrow\) \(x+y{\small ~≦~}0\)」
[証明] \(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) のとき、
\(x{\small ~≦~}0\) の両辺に \(y\) を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&0+y
\\[3pt]~~~x+y&{\small ~≦~}&y\end{eqnarray}\)
ここで、\(y{\small ~≦~}0\) より、\(x+y{\small ~≦~}0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x+y \gt 0 \Rightarrow\) \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
「\(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) \(\Rightarrow\) \(x+y{\small ~≦~}0\)」
[証明] \(x{\small ~≦~}0\) かつ \(y{\small ~≦~}0\) のとき、
\(x{\small ~≦~}0\) の両辺に \(y\) を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&0+y
\\[3pt]~~~x+y&{\small ~≦~}&y\end{eqnarray}\)
ここで、\(y{\small ~≦~}0\) より、\(x+y{\small ~≦~}0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x+y \gt 0 \Rightarrow\) \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) である [終]
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p.66 練習19[証明] 「\(\sqrt{\pi}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{\pi}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\pi}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\pi&=&r^2\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(r^2\) も有理数となるが、これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\sqrt{\pi}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\pi}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\pi&=&r^2\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(r^2\) も有理数となるが、これは \(\pi\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{\pi}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{\pi}\) は無理数である [終]
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p.67 練習20[証明] 「\(\sqrt{3}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{3}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{3}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(a\) も \(3\) の倍数である
また、\(a=3c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3c)^2&=&3b^2\\[3pt]~~~9c^2&=&3b^2\\[3pt]~~~b^2&=&3c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(b\) も \(3\) の倍数である
\(a\) と \(b\) はともに \(3\) の倍数で公約数 \(3\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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\(\sqrt{3}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{3}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(a\) も \(3\) の倍数である
また、\(a=3c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3c)^2&=&3b^2\\[3pt]~~~9c^2&=&3b^2\\[3pt]~~~b^2&=&3c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(b\) も \(3\) の倍数である
\(a\) と \(b\) はともに \(3\) の倍数で公約数 \(3\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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p.68 発展 例題1\({\small (1)}~\)命題は偽
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1{\small ~≦~}0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
解法のPoint｜すべて・あるの否定
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1{\small ~≦~}0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
解法のPoint｜すべて・あるの否定
問題
p.69 問題 1\({\small (1)}~\{1~,~4~,~9\}\)
\({\small (2)}~\{1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (3)}~\{6~,~7\}\)
\({\small (4)}~\{5\}\)
\({\small (5)}~\{2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (6)}~\varnothing\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (3)}~\{6~,~7\}\)
\({\small (4)}~\{5\}\)
\({\small (5)}~\{2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (6)}~\varnothing\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.69 問題 2\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
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p.69 問題 3命題「\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数」の対偶は、
「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」
[証明] \(n\) が \(3\) の倍数でないとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表せる
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
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「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」
[証明] \(n\) が \(3\) の倍数でないとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表せる
\(\small [\,1\,]\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,2\,]\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\)より、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
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p.69 問題 4\({\small (1)}~\)[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=-1~,~b=3\)
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演習問題 集合と論理
p.70 演習問題A 1\({\small (1)}~a=-2\)
\({\small (2)}~\{-2~,~2~,~3~,~6~,~7\}\)
\({\small (3)}~\{-2~,~3\}\)
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\({\small (2)}~\{-2~,~2~,~3~,~6~,~7\}\)
\({\small (3)}~\{-2~,~3\}\)
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p.70 演習問題A 2\({\small (1)}~P\)
\({\small (2)}~P \cap Q\)
\({\small (3)}~\overline{P} \cap Q\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~P \cap Q\)
\({\small (3)}~\overline{P} \cap Q\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.70 演習問題A 3\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
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\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
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p.70 演習問題A 4[証明] 「\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組が存在する」と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-y^2&=&1\\[3pt]~~~(x+y)(x-y)&=&1\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は自然数であるので、\(x+y\) と \(x-y\) は整数である
積が \(1\) となる整数の組は、
\(\small [\,1\,]\) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
\(\small [\,2\,]\) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(y=0\) は自然数でないので不適
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=-1~,~y=0\) は自然数でないので不適
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しない [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~x^2-y^2&=&1\\[3pt]~~~(x+y)(x-y)&=&1\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は自然数であるので、\(x+y\) と \(x-y\) は整数である
積が \(1\) となる整数の組は、
\(\small [\,1\,]\) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\)
\(\small [\,2\,]\) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\)
\(\small [\,1\,]\) \(x+y=1\) かつ \(x-y=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(y=0\) は自然数でないので不適
\(\small [\,2\,]\) \(x+y=-1\) かつ \(x-y=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-1\\[3pt]~~~y&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=-1~,~y=0\) は自然数でないので不適
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\)より、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しないので、仮定に矛盾する
したがって、\(x^2-y^2=1\) を満たす自然数 \(x~,~y\) の組は存在しない [終]
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p.71 演習問題B 5\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (2)}~\)真
[証明] \(a+b~,~a-b\) がともに有理数のとき、
有理数 \(p~,~q\) を用いて、\(a+b=p~,~a-b=q\) とおくと、
この \(2\) 式の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2a&=&p+q
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,p+q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) 式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2b&=&p-q
\\[5pt] b&=&\displaystyle \frac{\,p-q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(p~,~q\) は有理数であるので、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である」は真となる [終]
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (4)}~\)偽、反例は \(a=0~,~b=\sqrt{2}\) など
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\({\small (2)}~\)真
[証明] \(a+b~,~a-b\) がともに有理数のとき、
有理数 \(p~,~q\) を用いて、\(a+b=p~,~a-b=q\) とおくと、
この \(2\) 式の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2a&=&p+q
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,p+q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) 式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2b&=&p-q
\\[5pt] b&=&\displaystyle \frac{\,p-q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(p~,~q\) は有理数であるので、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である」は真となる [終]
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (4)}~\)偽、反例は \(a=0~,~b=\sqrt{2}\) など
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p.71 演習問題B 6[証明] 「\(a~,~b~,~c\) がすべて奇数である」と仮定すると、
整数 \(k~,~l~,~m\) を用いて、\(a=2k+1~,~b=2l+1~,~c=2m+1\) と表せる
\(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、
左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) がすべて奇数であることはないので、
\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも \(1\) つは偶数である [終]
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整数 \(k~,~l~,~m\) を用いて、\(a=2k+1~,~b=2l+1~,~c=2m+1\) と表せる
\(a^2+b^2=c^2\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2k+1)^2+(2l+1)^2&=&(2m+1)^2\\[3pt]~~~4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=&4m^2+4m+1\\[3pt]~~~2(2k^2+2k+2l^2+2l+1)&=&2(2m^2+2m)+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾する
したがって、\(a~,~b~,~c\) がすべて奇数であることはないので、
\(a~,~b~,~c\) のうち少なくとも \(1\) つは偶数である [終]
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