数学B｜数列｜問題一覧 ＞ 問題解説 107
107｜シグマ記号の性質と公式
次の問いに答えよ。
\(\begin{eqnarray}&{\small (1)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+5)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}n\left(n^2-\fbox{ウ}\,n+\fbox{エオ}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}{\small (2)}~\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k=n(n-\fbox{カ})\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)数列 \(3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots\) の初項から第 \(n\) 項までの和は、
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(\fbox{キ}\,k^{\fbox{ク}}+k^{\fbox{ケ}}\right)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}n(n+\fbox{シ})\left(\fbox{ス}\,n^2+\fbox{セ}\,n+\fbox{ソ}\right)
\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜数列
107 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left(n^2-3n+11\right)\)
\({\small (2)}~\)\(n(n-1)\)
\(\begin{eqnarray}&{\small (3)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(2k^3+k^2\right)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left(3n^2+5n+1\right)\end{eqnarray}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)シグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2-3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)-3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)+5n
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\) でくくると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2+3n+1-9n-9+30\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\left(2n^2-6n+22\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n\cdot 2\left(n^2-3n+11\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}n\left(n^2-3n+11\right)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k\end{eqnarray}\)
公式 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}\phantom{{\small (2)}~}~~~\phantom{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k}&=&2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{\,(n-1)+1\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&(n-1)\cdot n
\\[5pt]~~~&=&n(n-1)
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\{~3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots~\}\)
左側の数は \(3~,~5~,~7~,~9~,~\cdots\) となり、
初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列で、第 \(k\) 項は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3+(k-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&3+2k-2
\\[3pt]~~~&=&2k+1
\end{eqnarray}\)
また、右側の数は \(1^2~,~2^2~,~3^2~,~4^2~,~\cdots\) であり、第 \(k\) 項は \(k^2\)
よって、この数列の第 \(k\) 項は \((2k+1)\cdot k^2\) となる
これより、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(\displaystyle \sum\) で表すと、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)\cdot k^2\)
シグマ記号を分けて、それぞれ公式で計算すると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^3+k^2)
\\[5pt]~~~&=&2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\right\}^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2\right\}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}n^2(n+1)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)\left\{\,3n(n+1)+(2n+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+3n+2n+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(3n^2+5n+1)
\end{eqnarray}\)
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