数学B｜数列｜問題一覧 ＞ 問題解説 101
101｜自然数の和と倍数の和
101
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(1\) から \(100\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数である数を小さい順に並べると項数 \(\fbox{アイ}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{ウエオカ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(1\) から \(100\) までの自然数のうち、\(3\) で割ると \(1\) 余る数を小さい順に並べると項数 \(\fbox{キク}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{ケコサシ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 桁の自然数のうち、\(3\) で割ると \(2\) 余る数を小さい順に並べると、初項 \(\fbox{スセ}\)、末項 \(\fbox{ソタ}\)、項数 \(\fbox{チツ}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{テトナニ}\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(1\) から \(100\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数である数を小さい順に並べると項数 \(\fbox{アイ}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{ウエオカ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(1\) から \(100\) までの自然数のうち、\(3\) で割ると \(1\) 余る数を小さい順に並べると項数 \(\fbox{キク}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{ケコサシ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 桁の自然数のうち、\(3\) で割ると \(2\) 余る数を小さい順に並べると、初項 \(\fbox{スセ}\)、末項 \(\fbox{ソタ}\)、項数 \(\fbox{チツ}\) の等差数列になり、その和は \(\fbox{テトナニ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜数列
101 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)項数 \(50\)、和 \(2550\)
\({\small (2)}~\)項数 \(34\)、和 \(1717\)
\({\small (3)}~\)初項 \(11\)、末項 \(98\)、項数 \(30\)、和 \(1635\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,2~,~4~,~6~,~\cdots~,~100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot1~,~2\cdot2~,~2\cdot3~,~\cdots~,~2\cdot50\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(2\)、末項 \(100\) で、
項数は \(2n\) の \(n\) が \(1\) 〜 \(50\) までの \(50\) 個あるので、項数 \(50\) となり、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 50 \cdot (2+100)
\\[5pt]~~~&=&25\cdot 102
\\[3pt]~~~&=&2550
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(1\) 〜 \(100\) の自然数のうち \(3\) で割ると \(1\) 余る数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,1~,~4~,~7~,~\cdots~,~100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot0+1~,~3\cdot1+1~,~3\cdot2+1~,~\cdots~,~3\cdot33+1\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot0+1~,~3\cdot1+1~,~3\cdot2+1~,~\cdots~,~3\cdot33+1\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(1\)、末項 \(100\) で、
項数は \(3n+1\) の \(n\) が \(0\) 〜 \(33\) までの \(34\) 個あるので、項数 \(34\) となり、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 34 \cdot (1+100)
\\[5pt]~~~&=&17\cdot 101
\\[3pt]~~~&=&1717
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(2\) 桁の自然数 \(10\) 〜 \(99\) のうち、\(3\) で割ると \(2\) 余る数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,11~,~14~,~17~,~\cdots~,~98\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot 3+2~,~3\cdot 4+2~,~3\cdot 5+2~,~\cdots~,~3\cdot 32+2\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot 3+2~,~3\cdot 4+2~,~3\cdot 5+2~,~\cdots~,~3\cdot 32+2\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(11\)、末項 \(98\) で、
\(3n+2\) の \(n\) が \(3\) 〜 \(32\) まであるので、
\(32-3+1=30\) 個より、項数 \(30\) となる
よって、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 30\cdot \left(11+98\right)
\\[5pt]~~~&=&15\cdot 109
\\[3pt]~~~&=&1635
\end{eqnarray}\)
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