共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

110 数学ⅡBC【解答】

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\(a_n=S_n-S_{n-1}\)

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\(a_n=2n\)

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\(a_1=S_1=2\)

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ア：①　イ：⓪

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【より詳しい解説】
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) から、第 \(n-1\) 項までの和 \(S_{n-1}\) を引くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
S_n&=&a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n \\~~
-\big{)}~~~S_{n-1}&=&a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\\
\hline S_n-S_{n-1}&=&a_n\end{eqnarray}\)

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※ \(S_{n-1}\) は \(n-1{\small ~≧~}1\)、つまり \(n{\small ~≧~}2\) のときに考えられる。

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よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、\( a_n=S_n-S_{n-1} \) となる

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ここで、\( S_{n-1} \) は、\( S_n=n^2+n \) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_{n-1}&=&(n-1)^2+(n-1)
\\[3pt]~~~&=&n^2-2n+1+n-1
\\[3pt]~~~&=&n^2-n
\end{eqnarray}\)

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これより、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&S_n-S_{n-1}
\\[3pt]~~~&=&(n^2+n)-(n^2-n)
\\[3pt]~~~&=&n^2+n-n^2+n
\\[3pt]~~~&=&2n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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次に、\( n=1 \) のとき、\( a_1=S_1 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&S_1
\\[3pt]~~~&=&1^2+1
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

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ここで、\({\small [\,1\,]}\) に \(n=1\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot 1&=&2
\end{eqnarray}\)

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これは \(a_1=2\) と一致するので、\( n=1 \) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=2n \) となる