数学B｜数列｜問題一覧 ＞ 問題解説 109
109｜部分分数と平方根を含む数列の和
109
次の和を求めよ。
\(\begin{eqnarray}&{\small (1)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\left(\frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,\fbox{ウ}\,n+\fbox{エ}\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}&{\small (2)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k\,}+\sqrt{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{\,k+\fbox{オ}\,}-\sqrt{\,k\,}\right)
\\[5pt]&=&\sqrt{\,n+\fbox{カ}\,}-\fbox{キ}\end{eqnarray}\)
次の和を求めよ。
\(\begin{eqnarray}&{\small (1)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\left(\frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,\fbox{ウ}\,n+\fbox{エ}\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}&{\small (2)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k\,}+\sqrt{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{\,k+\fbox{オ}\,}-\sqrt{\,k\,}\right)
\\[5pt]&=&\sqrt{\,n+\fbox{カ}\,}-\fbox{キ}\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜数列
109 数学ⅡBC【解答】
\(\begin{eqnarray}&{\small (1)}&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2n+1\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\right)=\sqrt{\,n+1\,}-1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}\) を部分分数に分けた式は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2k+1)-(2k-1)\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}
\end{eqnarray}\)
※ 分子が \(2\) となるので、両辺を \(2\) で割る。
よって、恒等式
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\end{eqnarray}\)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
が成り立つ
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) までの自然数を代入した和を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \left\{ \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}-\cancel{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)\right.
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,5\,}}\right)
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,5\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,7\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-1\,}}\right)
\\[5pt]~~~&&~ ~+\left. \left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2n-1\,}}-\frac{\,1\,}{\,2n+1\,}\right) \right\}
\end{eqnarray}\)
消えていく項と残る項を確認すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n+1\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(2n+1)-1\,}{\,2n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2n\,}{\,2n+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2n+1\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k\,}+\sqrt{\,k+1\,}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,\left(\sqrt{\,k\,}\right)^2-\left(\sqrt{\,k+1\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,k-(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,\left(\sqrt{\,k\,}\right)^2-\left(\sqrt{\,k+1\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,k-(k+1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,k\,}-\sqrt{\,k+1\,}\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,k\,}+\sqrt{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{\,k+1\,}-\sqrt{\,k\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) の自然数を代入した項を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~&=&\left(\cancel{\sqrt{\,2\,}}-\sqrt{\,1\,}\right)
\\[3pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\sqrt{\,3\,}}-\cancel{\sqrt{\,2\,}}\right)
\\[3pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\sqrt{\,4\,}}-\cancel{\sqrt{\,3\,}}\right)
\\[3pt]~~~&& ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots
\\[3pt]~~~&&~ ~+\left(\cancel{\sqrt{\,n\,}}-\cancel{\sqrt{\,n-1\,}}\right)
\\[3pt]~~~&&~ ~+\left(\sqrt{\,n+1\,}-\cancel{\sqrt{\,n\,}}\right)
\end{eqnarray}\)
\(-\sqrt{\,1\,}\) と \(\sqrt{\,n+1\,}\) が残るので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\sqrt{\,1\,}+\sqrt{\,n+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,n+1\,}-1
\end{eqnarray}\)
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