共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

99 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)初項 \(2\)、公差 \(3\)、\(a_n=3n-1\)、第 \(10\) 項

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\({\small (2)}~\)\(a=5\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる

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\( n=5 \) のとき、\( a_5=14 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+(5-1)d&=&14
\\[3pt]~~~a+4d&=&14~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( n=7 \) のとき、\( a_7=20 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+(7-1)d&=&20
\\[3pt]~~~a+6d&=&20~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+6d&=&20 \\[3pt]
-\big{)}~~a+4d&=&14\\[3pt]
\hline 0+2d&=&6
\\[3pt] d&=&3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot3&=&14
\\[3pt]~~~a+12&=&14
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)

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初項 \( a=2 \)、公差 \( d=3 \) より、一般項 \( a_n \) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2+(n-1)\cdot3
\\[3pt]~~~&=&2+3n-3
\\[3pt]~~~&=&3n-1
\end{eqnarray}\)

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次に、第 \(n\) 項が \(29\) であると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3n-1&=&29
\\[3pt]~~~3n&=&30
\\[3pt]~~~n&=&10
\end{eqnarray}\)

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よって、\(29\) は第 \(10\) 項である

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\({\small (2)}~\)\(2~,~a~,~8\) がこの順に等差数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&2+8
\\[3pt]~~~2a&=&10
\\[3pt]~~~a&=&5
\end{eqnarray}\)

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※ 真ん中の数の \(2\) 倍は、両側の和と等しい。