数学B｜数列｜問題一覧 ＞ 問題解説 113
113｜特性方程式を用いる漸化式
113
数列 \(\{a_n\}\) が \(a_1=2~,~\)\(a_{n+1}=3a_n+2\) で定められるとき、漸化式を式変形すると、
\(a_{n+1}+\fbox{ア}=\fbox{イ}(\,a_n+\fbox{ウ}\,)\)
ここで、\(b_n=a_n+\fbox{エ}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\fbox{オ}\,b_n\)
数列 \(\{b_n\}\) は初項 \(\fbox{カ}\)、公比 \(\fbox{キ}\) の等比数列となるから、
\(b_n=\fbox{ク}^{\,n}\) で、\(a_n=\fbox{ケ}^{\,n}-\fbox{コ}\) となる。
数列 \(\{a_n\}\) が \(a_1=2~,~\)\(a_{n+1}=3a_n+2\) で定められるとき、漸化式を式変形すると、
\(a_{n+1}+\fbox{ア}=\fbox{イ}(\,a_n+\fbox{ウ}\,)\)
ここで、\(b_n=a_n+\fbox{エ}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\fbox{オ}\,b_n\)
数列 \(\{b_n\}\) は初項 \(\fbox{カ}\)、公比 \(\fbox{キ}\) の等比数列となるから、
\(b_n=\fbox{ク}^{\,n}\) で、\(a_n=\fbox{ケ}^{\,n}-\fbox{コ}\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜数列
113 数学ⅡBC【解答】
\(a_{n+1}+1=3(\,a_n+1\,)\)
\(b_n=a_n+1\) とおくと、\(b_{n+1}=3b_n\)
初項 \(3\)、公比 \(3\) より \(b_n=3^{\,n}\)
\(a_n=3^{\,n}-1\)
【より詳しい解説】
\(a_{n+1}=c~,~a_n=c\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&3c+2
\\[3pt]~~~-2c&=&2
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&3c+2
\\[3pt]~~~-2c&=&2
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\( a_{n+1}=3a_n+2 \) を、\(c=-1\) を用いて \(a_{n+1}-c=3\,(a_n-c)\) の形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-(-1)&=&3\,\left\{\,a_n-(-1)\,\right\}
\\[3pt]~~~a_{n+1}+1&=&3\,(a_n+1)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_n+1 \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+1}+1\)
\(\begin{eqnarray}~~~b_1&=&a_1+1
\\[3pt]~~~&=&2+1
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
これより、
\( b_{n+1}=3\cdot b_n~,~b_1=3 \)
数列 \(\{b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&3\cdot 3^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&3^n
\end{eqnarray}\)
よって、\( b_n=a_n+1 \) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n+1&=&3^n
\\[3pt]~~~a_n&=&3^n-1
\end{eqnarray}\)
数列｜問題一覧はこちら→
