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111｜等差数列×等比数列の数列の和
111
\(S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n\) について、\(S-2S\) は、
となるので、
\(S=(n-\fbox{エ})\cdot 2^{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}}+\fbox{カ}\)
選択肢：⓪ \(n-1\) ① \(n\) ② \(n+1\)
③ \(n+2\) ④ \(2n\)
\(S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n\) について、\(S-2S\) は、
\(S-2S=\fbox{ア}+2^2+2^3+\cdots+2^{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}}-n\cdot 2^{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となるので、
\(S=(n-\fbox{エ})\cdot 2^{\,\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}}+\fbox{カ}\)
選択肢：⓪ \(n-1\) ① \(n\) ② \(n+1\)
③ \(n+2\) ④ \(2n\)
共通テスト数学ⅡBC｜数列
111 数学ⅡBC【解答】
\(S-2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{\,n}-n\cdot 2^{\,n+1}\)
\(S=(n-1)\cdot 2^{\,n+1}+2\)
イ：① ウ：② オ：②
【より詳しい解説】
\( S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n \)
とおき、右側の数列の公比 \(2\) を両辺に掛けると、
\( 2S=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+n\cdot 2^{n+1} \)
\(\begin{eqnarray}~~~-S&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{n}-1)\,}{\,2-1\,}-n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&-2^{n+1}+2+n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&(n-1)\cdot 2^{n+1}+2
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)
\(S-2S=2+2^2+2^3+\cdots+2^{\,n}-n\cdot 2^{\,n+1}\)
\(S=(n-1)\cdot 2^{\,n+1}+2\)
イ：① ウ：② オ：②
【より詳しい解説】
\( S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n \)
とおき、右側の数列の公比 \(2\) を両辺に掛けると、
\( 2S=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+n\cdot 2^{n+1} \)
ここで、\(2S\) の右辺を右に1項分ずらして、\(S\) と上下に並べて引き算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+~\hspace{15pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{15pt}~+ n\cdot 2^n \\
-\big{)}~~2S&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n}+n\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S&=&1\cdot 2+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+1\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 2^{n}-n\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S&=&2+2^2+2^3+\cdots+2^{n}-n\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
-\big{)}~~2S&=&~~~~~~~~~~~~1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n}+n\cdot 2^{n+1}\\
\hline -S&=&1\cdot 2+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+1\cdot 2^4+\hspace{10pt}\cdot~\cdot~\cdot\hspace{10pt}+1\cdot 2^{n}-n\cdot 2^{n+1}
\\[2pt] -S&=&2+2^2+2^3+\cdots+2^{n}-n\cdot 2^{n+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(2+2^2+2^3+\cdots+2^{n}\) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~-S&=&\displaystyle \frac{\,2(2^{n}-1)\,}{\,2-1\,}-n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~-S&=&2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&-2^{n+1}+2+n\cdot 2^{n+1}
\\[5pt]~~~S&=&(n-1)\cdot 2^{n+1}+2
\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)
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