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102｜等差数列の項と和から一般項を求める
102
第 \(5\) 項が \(11\)、初項から第 \(10\) 項までの和が \(120\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の初項は \(\fbox{ア}\)、公差は \(\fbox{イ}\) であり、一般項は \(a_n=\fbox{ウ}\,n+\fbox{エ}\) である。
第 \(5\) 項が \(11\)、初項から第 \(10\) 項までの和が \(120\) である等差数列 \(\{a_n\}\) の初項は \(\fbox{ア}\)、公差は \(\fbox{イ}\) であり、一般項は \(a_n=\fbox{ウ}\,n+\fbox{エ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜数列
102 数学ⅡBC【解答】
初項 \(3\)、公差 \(2\)、\(a_n=2n+1\)
【より詳しい解説】
初項を \( a \)、公差を \( d \) とすると、
\( a_5=11 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+(5-1)\,d&=&11
\\[3pt]~~~a+4d&=&11~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( S_{10}=120 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10 \left\{ 2a+(10-1)\,d \right\}&=&120
\\[5pt]~~~5(2a+9d)&=&120
\\[5pt]~~~2a+9d&=&24~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}{\, \small \times \,}2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
2a+9d&=&24 \\[3pt]
-\big{)}~~2a+8d&=&22\\[3pt]
\hline d&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot 2&=&11
\\[3pt]~~~a+8&=&11
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(3\)、公差 \(2\) より、等差数列の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+1
\end{eqnarray}\)
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