共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

106 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(93\)
\({\small (2)}~\)\(15\)
\({\small (3)}~\)初項 \(3\)、公比 \(2\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)初項 \(a=3\)、公比 \(r=2\)、項数 \(n=5\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,3\left(2^{5}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\left(32-1\right)\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 31
\\[3pt]~~~&=&93
\end{eqnarray}\)

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よって、和は \(93\) となる

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\({\small (2)}~\)初項 \(a=3\)、公比 \(r=1\)、項数 \(n=5\) では、

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\(r=1\) より、すべての項が初項 \(3\) と同じとなるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&5{\, \small \times \,}3
\\[3pt]~~~&=&15
\end{eqnarray}\)

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よって、和は \(15\) となる

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\({\small (3)}~\)初項を \( a \)、公比を \( r \) とすると、一般項は \( a_n = a\,r^{n-1} \)

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\(a_3=12\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^{2}&=&12~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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初項から第 \(3\) 項までの和が \(21\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1+a_2+a_3&=&21
\\[3pt]~~~a+a r+a r^2&=&21
\\[3pt]~~~a\left(1+r+r^2\right)&=&21
\end{eqnarray}\)

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両辺に \(r^2\) を掛けると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^2\left(1+r+r^2\right)&=&21r^2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~12\left(1+r+r^2\right)&=&21 r^2
\\[3pt]~~~4\left(1+r+r^2\right)&=&7 r^2
\\[3pt]~~~4+4r+4r^2-7r^2&=&0
\\[3pt]~~~-3r^2+4r+4&=&0
\\[3pt]~~~3r^2-4r-4&=&0
\end{eqnarray}\)

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たすき掛けの因数分解より、

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\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&+2~&~2\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~1&&-2~&~-6\\[2pt]
\hline
&&&-4
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~3r^2-4r-4&=&0
\\[3pt]~~~(3r+2)(r-2)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&2 \hspace{30pt}(\,∵~ r\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)

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\(r=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot 2^2&=&12
\\[3pt]~~~4a&=&12
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)

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したがって、初項 \(3\)、公比 \(2\) となる