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105｜等比数列のa₁+a₂とa₃+a₄の値
105
公比が正の等比数列 \(\{a_n\}\) が \(a_1+a_2=9~,~\)\(a_3+a_4=36\) を満たすとき、初項は \(\fbox{ア}\)、公比は \(\fbox{イ}\) であり、一般項は \(a_n=\fbox{ウ}\cdot\fbox{イ}^{\,n-1}\) である。
公比が正の等比数列 \(\{a_n\}\) が \(a_1+a_2=9~,~\)\(a_3+a_4=36\) を満たすとき、初項は \(\fbox{ア}\)、公比は \(\fbox{イ}\) であり、一般項は \(a_n=\fbox{ウ}\cdot\fbox{イ}^{\,n-1}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜数列
105 数学ⅡBC【解答】
初項 \(3\)、公比 \(2\)、\(a_n=3\cdot2^{\,n-1}\)
【より詳しい解説】
初項を \( a \)、公比を \( r~(\,r\gt 0\,)\) とおくと、一般項は \( a_n=a\,r^{n-1} \)
\(a_1+a_2=9\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot r&=&9~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(a_3+a_4=36\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^2+a\cdot r^3&=&36~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、共通因数 \( r^2 \) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2\left(a+a\cdot r\right)&=&36
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2\cdot 9&=&36
\\[3pt]~~~r^2&=&4
\\[3pt]~~~r&=&2 \hspace{30pt}(\,∵~ r\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot 2&=&9
\\[3pt]~~~3a&=&9
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(3\)、公比 \(2\) より、
一般項 \( a_n=3\cdot 2^{\,n-1} \) となる
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