共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

108 数学ⅡBC【解答】

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第 \(k\) 項 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)

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和 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(n+2)\)

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【より詳しい解説】
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1
\\[3pt]~~~a_2&=&1+2
\\[3pt]~~~a_3&=&1+2+3
\end{eqnarray}\)

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これより、第 \(k\) 項 \(a_k\) を書き並べると、

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\(~~~a_k=1+2+3+\cdots+k\)

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これは\(1\sim k\) までの自然数の和であるので、

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\(~~~\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)\)

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よって、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和は、\(k=1\sim n\) までのシグマ記号より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k
\end{eqnarray}\)

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公式を用いると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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通分して、共通因数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}n(n+1)\) でくくると、

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※ 数式は横にスクロールできます。