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114｜数学的帰納法を用いる一般項の証明
114
漸化式 \(a_1=1~,~\)\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}\) について、
\(\displaystyle a_2=\frac{\,1\,}{\,\fbox{ア}\,}~,~\)\(\displaystyle a_3=\frac{\,1\,}{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(\displaystyle a_4=\frac{\,1\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
これより、一般項は \(\displaystyle a_n=\frac{\,1\,}{\,\fbox{エ}\,n-\fbox{オ}\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) と推測される。
\({\small (1)}~\)\(n=1\) のとき、\(a_1=1\) で \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
\({\small (2)}~\)\(n=k\) のとき、成り立つと仮定すると、
\(\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,\fbox{カ}\,k-\fbox{キ}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{ク}\,k+\fbox{ケ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{コ}\,(k+1)-\fbox{サ}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(n=k+1\) のときも成り立つ。
以上より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
この証明方法を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ}\) という。
選択肢：⓪ 背理法 ① 対偶法 ② 数学的帰納法
漸化式 \(a_1=1~,~\)\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}\) について、
\(\displaystyle a_2=\frac{\,1\,}{\,\fbox{ア}\,}~,~\)\(\displaystyle a_3=\frac{\,1\,}{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(\displaystyle a_4=\frac{\,1\,}{\,\fbox{ウ}\,}\)
これより、一般項は \(\displaystyle a_n=\frac{\,1\,}{\,\fbox{エ}\,n-\fbox{オ}\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) と推測される。
\({\small (1)}~\)\(n=1\) のとき、\(a_1=1\) で \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
\({\small (2)}~\)\(n=k\) のとき、成り立つと仮定すると、
\(\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,\fbox{カ}\,k-\fbox{キ}\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{ク}\,k+\fbox{ケ}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\fbox{コ}\,(k+1)-\fbox{サ}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(n=k+1\) のときも成り立つ。
以上より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ。
この証明方法を \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{シ}\) という。
選択肢：⓪ 背理法 ① 対偶法 ② 数学的帰納法
共通テスト数学ⅡBC｜数列
114 数学ⅡBC【解答】
\(\displaystyle a_2=\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~a_3=\frac{\,1\,}{\,5\,}~,~a_4=\frac{\,1\,}{\,7\,}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{\,1\,}{\,2n-1\,}\)
\(\displaystyle a_k=\frac{\,1\,}{\,2k-1\,}\)
\(\displaystyle a_{k+1}=\frac{\,1\,}{\,2k+1\,}=\frac{\,1\,}{\,2(k+1)-1\,}\)
シ：②
【より詳しい解説】
初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2a_1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&\displaystyle \frac{\,a_2\,}{\,2a_2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}3\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\right){\, \small \times \,}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&\displaystyle \frac{\,a_3\,}{\,2a_3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}+1\right){\, \small \times \,}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
[証明]
\({\small (1)}~\)\(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\cdot 1-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \({\small [\,1\,]}\) は成り立つ
\({\small (2)}~\)\(n=k\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,a_k\,}{\,2a_k+1\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_{k+1}}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}\,}{\,2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k-1\,}{\, \small \times \,}(2k-1)\,}{\,\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2k-1\,}+1\right){\, \small \times \,}(2k-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2+(2k-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(k+1)-1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n-1\,}\)
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