共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

104 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(a_n=2^{\,n}\)、第 \(10\) 項は \(1024\)
\({\small (2)}~\)初項 \(3\)、公比 \(2\)、\(a_n=3\cdot2^{\,n-1}\)
\({\small (3)}~\)\(a=4~,~-4\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)初項 \(a=2\)、公比 \(r=2\) より、一般項 \(a_n\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2\cdot 2^{n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{1+n-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{n}
\end{eqnarray}\)

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また、第 \(10\) 項は、\( n=10 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{10}&=&2^{10}
\\[3pt]~~~&=&1024
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)初項を \( a \)、公比を \( r \) とおくと、一般項 \( a_n = a\,r^{n-1} \) となる

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\( n=4 \) のとき、\( a_4 = 24 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{4-1}&=&24
\\[3pt]~~~a\,r^{3}&=&24~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( n=6 \) のとき、\( a_6 = 96 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{6-1}&=&96
\\[3pt]~~~a\,r^{5}&=&96~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\,r^{5}&=&96
\\[3pt]~~~a\,r^{3}\,r^{2}&=&96
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~24\,r^{2}&=&96
\\[3pt]~~~r^{2}&=&4
\\[3pt]~~~r&=&2 \hspace{30pt}(\,∵~ r\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)

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\( r=2 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot2^{3}&=&24
\\[3pt]~~~8a&=&24
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)

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よって、初項 \( 3 \)、公比 \( 2 \) より、一般項 \(a_n\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3\cdot 2^{n-1}\end{eqnarray}\)

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\({\small (3)}~\)\(2~,~a~,~8\) がこの順に等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&2{\, \small \times \,}8
\\[3pt]~~~a^2&=&16
\\[3pt]~~~a&=&\pm 4
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=4~,~-4\) となる