数学B｜数列｜問題一覧 ＞ 問題解説 112
112｜漸化式で定められる数列の一般項
112
次の漸化式で定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=a_n+2\) のとき、
\(a_n=\fbox{ア}\,n+\fbox{イ}\)
\({\small (2)}~\)\(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=2\,a_n\) のとき、
\(a_n=\fbox{ウ}\cdot\fbox{エ}^{\,n-1}\)
\({\small (3)}~\)\(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=a_n+2n\) のとき、
\(a_n=n^2-n+\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=a_n+2^n\) のとき、
\(a_n=\fbox{カ}^{\,n}\)
次の漸化式で定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=a_n+2\) のとき、
\(a_n=\fbox{ア}\,n+\fbox{イ}\)
\({\small (2)}~\)\(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=2\,a_n\) のとき、
\(a_n=\fbox{ウ}\cdot\fbox{エ}^{\,n-1}\)
\({\small (3)}~\)\(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=a_n+2n\) のとき、
\(a_n=n^2-n+\fbox{オ}\)
\({\small (4)}~\)\(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=a_n+2^n\) のとき、
\(a_n=\fbox{カ}^{\,n}\)
共通テスト数学ⅡBC｜数列
112 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(a_n=2n+1\)
\({\small (2)}~\)\(a_n=3\cdot 2^{\,n-1}\)
\({\small (3)}~\)\(a_n=n^2-n+1\)
\({\small (4)}~\)\(a_n=2^{\,n}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)漸化式 \(a_{n+1}=a_n+2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~~&&a_n~~,~~a_{n+1}
\\[-5pt]&&~~~~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~~+2
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(a_1=3\)、公差 \(2\) の等差数列となるので、一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+1
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)漸化式 \(a_{n+1}=2\,a_n\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~~&&a_n~~,~~a_{n+1}
\\[-5pt]&&~~~~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~~{\, \small \times \,}2
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(a_1=3\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3\cdot 2^{\,n-1}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(a_{n+1}-a_n=2n\) より、
この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2n\) となる
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2k
\\[5pt]~~~&=&1+2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray} \)
公式 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n\to n-1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_n}&=&1+2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\,(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&1+(n-1)\cdot n
\\[5pt]~~~&=&n^2-n+1~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray} \)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-1+1
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=n^2-n+1\) となる
\({\small (4)}~\)\(a_{n+1}-a_n=2^n\) より、
この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は \(b_n=2^n\) となる
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^k
\end{eqnarray} \)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^k\) は、初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a_n}&=&2+\displaystyle\frac{\,2\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle\frac{\,2^n-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2^n~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray} \)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,2\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=2^n\) となる
数列｜問題一覧はこちら→
