共通テスト数学ⅡBC｜数列の基本問題16問【PDF・解説つき】

100 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)和 \(120\)
\({\small (2)}~\)項数 \(10\)、和 \(155\)
\({\small (3)}~\)第 \(5\) 項

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)初項 \( a=30 \)、公差 \( d=-4 \)、項数 \( n=6 \) より、

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※ 等差数列の和の公式 \(S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n\left\{\,2a+(n-1)\,d\,\right\}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6 \cdot \left\{ 2\cdot 30+(6-1)\cdot(-4) \right\}
\\[5pt]~~~&=&3\,\left\{ 60 + 5\cdot(-4) \right\}
\\[3pt]~~~&=&3\,\left(60-20\right)
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 40
\\[3pt]~~~&=&120
\end{eqnarray}\)

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【別解】

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先に末項 \( l=a+(n-1)d \) を求めると、

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\(\begin{eqnarray}~~~l&=&30+(6-1)\cdot(-4)
\\[3pt]~~~&=&30-20
\\[3pt]~~~&=&10
\end{eqnarray}\)

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これより、初項 \( a=30 \)、末項 \( l=10 \)、項数 \( n=6 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6 \cdot (30+10)
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 40
\\[3pt]~~~&=&120
\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)初項 \( a=2 \)、末項 \( l=29 \) であり、

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公差は \( 2~,~5~,~8 \) より、\( d=5-2=3 \) となる

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項数を \( n \) とすると、末項が第 \( n \) 項となるので、\(l=a+(n-1)\cdot d\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2+(n-1)\cdot 3&=&29
\\[3pt]~~~3(n-1)&=&29-2
\\[3pt]~~~3(n-1)&=&27
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3(n-1)\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~n-1&=&9
\\[3pt]~~~n&=&10
\end{eqnarray}\)

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よって、初項 \( a=2 \)、末項 \( l=29 \)、項数 \( 10 \) となるので、この等差数列の和は、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10 \cdot (2+29)
\\[5pt]~~~&=&5\cdot 31
\\[3pt]~~~&=&155
\end{eqnarray}\)

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\({\small (3)}~\)初項 \( a=2 \)、公差 \( d=3 \)、初項から第 \( n \) 項までの和を \( S_n=40 \) とおくと、等差数列の和の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\left\{\,2\cdot2+(n-1)\cdot3\,\right\}&=&40
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(\,4+3n-3\,)&=&40
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(\,3n+1\,)&=&40
\\[5pt]~~~n(\,3n+1\,)&=&80
\\[3pt]~~~3n^2+n-80&=&0
\end{eqnarray}\)

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たすき掛けの因数分解より、

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\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&+16~&~16\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~1&&-5~&~-15\\[2pt]
\hline
&&&1
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~(3n+16)(n-5)&=&0
\\[5pt]~~~n&=&5~,~-\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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\( n \) は自然数より、\( n=5 \)

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したがって、初項から第 \(5\) 項までの和となる