数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 123
123｜二項分布と正規分布
123
1個のさいころを \(720\) 回投げて、1の目が出る回数を \(X\) とするとき、
\(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{アイウ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\right)\) に従う。
確率変数 \(X\) の平均（期待値）は
\(E(X)=\fbox{カキク}\) 、
標準偏差は \(\sigma(X)=\fbox{ケコ}\) である。
次に \(X\) が \(110\) 以下となる確率は、
\(\displaystyle Z=\frac{\,X-\fbox{サシス}\,}{\,\fbox{セソ}\,}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1)=0.3413\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}110)&=&P(Z{\small ~≦~}\fbox{タチ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ツ}.\fbox{テ}-p(\,\fbox{ト}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{ナニヌネ}\end{eqnarray}\)
1個のさいころを \(720\) 回投げて、1の目が出る回数を \(X\) とするとき、
\(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{アイウ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\right)\) に従う。
確率変数 \(X\) の平均（期待値）は
\(E(X)=\fbox{カキク}\) 、
標準偏差は \(\sigma(X)=\fbox{ケコ}\) である。
次に \(X\) が \(110\) 以下となる確率は、
\(\displaystyle Z=\frac{\,X-\fbox{サシス}\,}{\,\fbox{セソ}\,}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1)=0.3413\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}110)&=&P(Z{\small ~≦~}\fbox{タチ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ツ}.\fbox{テ}-p(\,\fbox{ト}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{ナニヌネ}\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
123 数学ⅡBC【解答】
\(B\left(\,720~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)\)
\(E(X)=120\)
\(\sigma(X)=10\)
\(\displaystyle Z=\frac{\,X-120\,}{\,10\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}110)&=&P(Z{\small ~≦~}{-1})
\\[3pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.1587\end{eqnarray}\)
【より詳しい解説】
くり返しの回数 \( n=720 \) と、
1の目が出る確率が \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) より、
確率変数 \( X \) は、二項分布 \( B\left(\,720~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right) \) に従う
1の目以外が出る確率は、
\( 1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
これより、期待値(平均)は、
\(~~~m=720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=120\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,720{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&10
\end{eqnarray}\)
ここで、\(n\) が大きいので、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N(120~,~10^2) \) に従う
また、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-120\,}{\,10\,} \) とおくと
確率変数 \( Z \) は、標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( X=110 \) のとき、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,110-120\,}{\,10\,}=-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}=-1\)
よって、\( X \) が \(110\) 以下の値となる確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}110)&=&P(Z{\small ~≦~}{-1})
\\[5pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)
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