数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 126
126｜母平均の推定
126
ある製品の中から \(400\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \(30~{\rm g}\) であった。重さの母標準偏差を \(5~{\rm g}\) とする。
標本平均の標準偏差は \(0.\fbox{アイ}\) である。
これより、この製品の重さの平均値 \(m\) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(\fbox{ウエ}.\fbox{オカ}{\small ~≦~}m{\small ~≦~}\fbox{キク}.\fbox{ケコ}\) である。
ただし、\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) とする。
ある製品の中から \(400\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \(30~{\rm g}\) であった。重さの母標準偏差を \(5~{\rm g}\) とする。
標本平均の標準偏差は \(0.\fbox{アイ}\) である。
これより、この製品の重さの平均値 \(m\) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(\fbox{ウエ}.\fbox{オカ}{\small ~≦~}m{\small ~≦~}\fbox{キク}.\fbox{ケコ}\) である。
ただし、\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) とする。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
126 数学ⅡBC【解答】
\(\sigma(\overline{X})=0.25\)
\(29.51{\small ~≦~}m{\small ~≦~}30.49\)
【より詳しい解説】
母平均 \( m \)、母標準偏差 \( \sigma=5~{\rm g} \) の母集団から、大きさ \( n=400 \) の標本を無作為に抽出し、標本平均が \( \overline{X}=30 \) であるとき、
標本平均 \( \overline{X} \) の標準偏差は、母標準偏差を標本の大きさの平方根で割った値となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{\,400\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&0.25
\end{eqnarray}\)
\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) より、信頼度 \(95\) %のときの \(Z\) の値は \(1.96\)
信頼区間は \(\overline{X}-1.96\cdot\sigma(\overline{X}){\small ~≦~}m{\small ~≦~}\overline{X}+1.96\cdot\sigma(\overline{X})\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1.96\cdot\sigma(\overline{X})&=&1.96\cdot 0.25
\\[5pt]~~~&=&0.49
\end{eqnarray}\)
これより、
\(30-0.49=29.51\)
\(30+0.49=30.49\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(29.51{\small ~≦~}m{\small ~≦~}30.49\)
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