数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 127
127｜母比率の推定
127
ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出して調べたところ、\(90\) 個の不良品があった。
標本比率は \(R=0.\fbox{ア}\) である。
標本の大きさが大きいので、母比率の代わりに標本比率 \(R\) を用いると、
標本比率の標準偏差は \(0.\fbox{イウ}\) である。
これより、この製品の不良率 \(p\) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(0.\fbox{エオカキ}{\small ~≦~}p{\small ~≦~}0.\fbox{クケコサ}\) である。
ただし、\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) とする。
ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出して調べたところ、\(90\) 個の不良品があった。
標本比率は \(R=0.\fbox{ア}\) である。
標本の大きさが大きいので、母比率の代わりに標本比率 \(R\) を用いると、
標本比率の標準偏差は \(0.\fbox{イウ}\) である。
これより、この製品の不良率 \(p\) に対する信頼度 \(95\) %の信頼区間は、
\(0.\fbox{エオカキ}{\small ~≦~}p{\small ~≦~}0.\fbox{クケコサ}\) である。
ただし、\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) とする。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
127 数学ⅡBC【解答】
\(R=0.1\)
\(\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}\,}=0.01\)
\(0.0804{\small ~≦~}p{\small ~≦~}0.1196\)
【より詳しい解説】
母比率 \( p \) の母集団から大きさ \( n=900 \) の標本を無作為に抽出し、不良品が \( 90 \) 個あるので、
標本比率 \( R \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~R&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,900\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&0.1
\end{eqnarray}\)
標本比率 \( R \) の標準偏差は \( \sqrt{\,\displaystyle \frac{\,p(1-p)\,}{\,n\,}\,} \) であり、
標本の大きさが大きいので、母比率 \( p \) の代わりに標本比率 \( R \) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,0.1(1-0.1)\,}{\,900\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,0.1\cdot 0.9\,}\,}{\,\sqrt{\,900\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,100\,}\,}\,}{\,30\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\,}{\,30\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,300\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&0.01
\end{eqnarray}\)
\(P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95\) より、信頼度 \(95\) %のときの \(Z\) の値は \(1.96\)
信頼区間は、
\(~~~R-1.96\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}\,}{\small ~≦~}p{\small ~≦~}R+1.96\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1.96\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,R(1-R)\,}{\,n\,}\,}&=&1.96\cdot 0.01
\\[5pt]~~~&=&0.0196
\end{eqnarray}\)
これより、
\(0.1-0.0196=0.0804\)
\(0.1+0.0196=0.1196\)
したがって、信頼度 \( 95 \) %の信頼区間は、
\(0.0804{\small ~≦~}p{\small ~≦~}0.1196\)
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