数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 124
124｜母集団分布と母平均・母標準偏差
124
1のカードが \(3\) 枚、2のカードが \(2\) 枚、3のカードが \(1\) 枚の合計 \(6\) 枚のカードを母集団とし、カードの数字を変量 \(X\) とする。
母集団分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,\fbox{ア}\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{イ}\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
また、母平均は \(\displaystyle m=\frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) 、
母標準偏差は \(\displaystyle \sigma=\frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\) である。
1のカードが \(3\) 枚、2のカードが \(2\) 枚、3のカードが \(1\) 枚の合計 \(6\) 枚のカードを母集団とし、カードの数字を変量 \(X\) とする。
母集団分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,\fbox{ア}\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{イ}\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
また、母平均は \(\displaystyle m=\frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) 、
母標準偏差は \(\displaystyle \sigma=\frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
124 数学ⅡBC【解答】
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\displaystyle m=\frac{\,5\,}{\,3\,}\)
\(\displaystyle \sigma=\frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
母集団分布は、母集団の \(6\) 枚のカードから、大きさ \(1\) の無作為標本の値 \(X\) の確率分布と一致するので、
\({\small [\,1\,]}\) \(X=1\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,} \)
\({\small [\,2\,]}\) \(X=2\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,} \)
\({\small [\,3\,]}\) \(X=3\) のとき 確率 \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
これより、母集団分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
母集団の変量 \(X\) の期待値(平均) \(m\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4+3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
次に、\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=&\displaystyle \frac{\,1^2\cdot 3+2^2\cdot 2+3^2\cdot 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+8+9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
これより、母分散は \(E(X^2)-m^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma^2&=&E(X^2)-m^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30-25\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
さらに、母標準偏差 \(\sigma\) は、母分散の正の平方根をとり、
\(~~~\sigma=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,3\,}\)
統計的な推測｜問題一覧はこちら→
