数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 115
115｜確率分布・期待値(平均)と分散・標準偏差
赤玉2個、白玉3個が入っている袋から同時に2個の玉を取り出し、赤玉の個数を \(X\) とする。確率変数 \(X\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,\fbox{ア}\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{イ}\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
また、\(X\) の平均（期待値）は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) 、
分散は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キク}\,}\) 、標準偏差は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
115 数学ⅡBC【解答】
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
\(V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\)
\(\sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\)
【より詳しい解説】
取り出す赤玉の個数が確率変数 \( X \) より、
\( X=0~,~1~,~2 \)
\({\small [\,1\,]}\) \( X=0 \) のとき
すべての場合の数は、
赤玉2個、白玉3個から2個を取り出すので、
\({}_5 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\,}=10\) 通り
白玉2個を取り出すのは、
\({}_3 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,3\cdot 2\,}{\,2\cdot 1\,}=3\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
\({\small [\,2\,]}\) \( X=1 \) のとき
すべての場合の数 10通りの中で、
赤玉1個、白玉1個を取り出すのは、
\({}_2 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_3 \mathrm{C}_1=2{\, \small \times \,} 3=6\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\) ※ 約分はしない。
\({\small [\,3\,]}\) \( X=2 \) のとき
すべての場合の数 10通りの中で、
赤玉2個を取り出すのは、
\({}_2 \mathrm{C}_2=1\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) より、確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。
期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、
※ 分母はすべて \(10\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 3+1{\, \small \times \,} 6+2{\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+6+2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、期待値(平均)は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) となる
ここで、\( m=E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \) とおくと、
それぞれの偏差 \( X-m \) と偏差の2乗 \( (X-m)^2 \) を求めると、
\(X=0\) のとき、
\( X-m=0-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \)
\(X=1\) のとき、
\( X-m=1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} \)
\(X=2\) のとき、
\( X-m=2-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} \)
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
X-m & -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} & \\[5pt]
\hline
(X-m)^2 & \displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,} & \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
偏差の2乗の期待値が分散 \( V(X) \) となるので、
\( (X-m)^2{\, \small \times \,}P \) の和より、
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}
+\displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,48+6+36\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、
分散 \( V(X) \) の正の平方根をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)
標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)
となる
【別解】
それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E\left(X^2\right)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 3+1\cdot 6+4\cdot 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+6+4\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-16\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)
また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、
分散 \( V(X) \) の正の平方根をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)
標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)
となる
統計的な推測｜問題一覧はこちら→
