数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 122
122｜正規分布と標準正規分布
122
確率変数 \(X\) が正規分布 \(N(2~,~3^2)\) に従うとき、\(\displaystyle Z=\frac{\,X-\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う。
\(p(1)=0.3413\) 、\(p(2)=0.4772\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5)&=&P(\fbox{ウエ}{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}\fbox{オ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{カ}\,p(\,\fbox{キ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{クケコサ}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}8)&=&P(Z{\small ~≦~}\fbox{シ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ス}.\fbox{セ}+p(\,\fbox{ソ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{タチツテ}\end{eqnarray}\)
確率変数 \(X\) が正規分布 \(N(2~,~3^2)\) に従うとき、\(\displaystyle Z=\frac{\,X-\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従う。
\(p(1)=0.3413\) 、\(p(2)=0.4772\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5)&=&P(\fbox{ウエ}{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}\fbox{オ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{カ}\,p(\,\fbox{キ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{クケコサ}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}8)&=&P(Z{\small ~≦~}\fbox{シ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ス}.\fbox{セ}+p(\,\fbox{ソ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{タチツテ}\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
122 数学ⅡBC【解答】
\(\displaystyle Z=\frac{\,X-2\,}{\,3\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5)&=&P(-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1)
\\[3pt]~~~&=&2p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.6826\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≦~}8)&=&P(Z{\small ~≦~}2)
\\[3pt]~~~&=&0.5+p(2)
\\[3pt]~~~&=&0.9772\end{eqnarray}\)
【より詳しい解説】
確率変数 \( X \) は正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うので、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}\)
とおくと、確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) は、
\( X=-1 \) のとき、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,-1-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,3\,}=-1\)
\( X=5 \) のとき、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,5-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}=1\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,)
&=&P(\,-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)
\\[5pt]~~~&=&p(1){\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&0.3413{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&0.6826
\end{eqnarray}\)
また、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}8\,) \) は、
\( X=8 \) のとき、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,8-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}=2\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≦~}8\,)&=&P(\,Z{\small ~≦~}2\,)
\\[5pt]~~~&=&0.5 + p(2)
\\[5pt]~~~&=&0.5 + 0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.9772
\end{eqnarray}\)
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