数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 119
119｜硬貨を複数回投げる二項分布
119
1枚の硬貨を10回投げ、表が出る回数を \(X\) とする。
確率変数 \(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{アイ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\right)\) に従う。
これより、\(X\) の平均（期待値）は \(E(X)=\fbox{オ}\) 、分散は \(\displaystyle V(X)=\frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\) 、
標準偏差は \(\displaystyle \sigma(X)=\frac{\,\sqrt{\,\fbox{クケ}\,}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
1枚の硬貨を10回投げ、表が出る回数を \(X\) とする。
確率変数 \(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{アイ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\right)\) に従う。
これより、\(X\) の平均（期待値）は \(E(X)=\fbox{オ}\) 、分散は \(\displaystyle V(X)=\frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\) 、
標準偏差は \(\displaystyle \sigma(X)=\frac{\,\sqrt{\,\fbox{クケ}\,}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
119 数学ⅡBC【解答】
\(B\left(\,10~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)\)
\(E(X)=5\)
\(V(X)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
\(\sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
1枚の硬貨を10回投げるので、\( n=10 \)
1回の試行で表が出る確率は、\( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
また、表が出ない確率は、\( q=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
これより、
二項分布は \( B\left(\,10~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right) \)
期待値(平均) \(E(X)\) は回数 × 起こる確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&n\,p
\\[5pt]~~~&=&10\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
分散 \(V(X)\) は回数 × 起こる確率 × 起こらない確率より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&n\,p\,q
\\[5pt]~~~&=&10\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差 \(\sigma(X)\) は、分散の正の平方根をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
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