数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 120
120｜確率密度関数と確率・期待値(平均)・分散
120
確率変数 \(X\) の確率密度関数が
\(\displaystyle f(x)=\frac{\,1\,}{\,2\,}\,x\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) のとき、
確率 \(\displaystyle P(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1)=\frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) 、
\(\displaystyle P(1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2)=\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
また、\(X\) の平均（期待値）は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) 、
分散は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\) 、標準偏差は \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
確率変数 \(X\) の確率密度関数が
\(\displaystyle f(x)=\frac{\,1\,}{\,2\,}\,x\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) のとき、
確率 \(\displaystyle P(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1)=\frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) 、
\(\displaystyle P(1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2)=\frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\) である。
また、\(X\) の平均（期待値）は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) 、
分散は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\) 、標準偏差は \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
120 数学ⅡBC【解答】
\(\displaystyle P(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1)=\frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\(\displaystyle P(1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2)=\frac{\,3\,}{\,4\,}\)
\(E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\(V(X)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
\(\sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
\( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,\,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) のグラフは、
確率 \( P(\,0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1\,) \) は、以下の面積となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1\,)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
【別解】積分を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\,dx&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2}\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{2}\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 0^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
確率 \( P(\,1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\,) \) は、以下の面積となるので、
\(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\) の範囲全体の面積は \(1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\,)&=&1-P(\,0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1\,)
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
【別解】積分を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \int_{1}^{2}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\,dx&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2}\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{2}\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
期待値(平均) \(E(X)\) は、\(x\,f(x)\) を定義域で積分した値より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \int_{0}^{2} x\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^{3}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( m=E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \) とおくと、
分散 \(V(X)\) は、\((x-m)^2 f(x)\) を定義域で積分した値より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\right)^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2}\left(x^{3}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}x^{2}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^{3}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{3}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{2}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,} \cdot 2^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(4-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,36-64+32\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2}\left(x^{3}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}x^{2}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^{3}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{3}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{2}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,} \cdot 2^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(4-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,36-64+32\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】\(V(X)=E\left(X^2\right)-m^2\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~E\left(X^2\right)&=&\displaystyle \int_{0}^{2} x^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2} x^{3}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 0^4\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4
\\[5pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]~~~&=&2-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\right)^{2}
\\[5pt]~~~&=&2-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18-16\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
また、標準偏差 \(\sigma(X)\) は、分散の正の平方根をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
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