共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測の基本問題15問【PDF・解説つき】

129 数学ⅡBC【解答】

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\(\sigma(\overline{X})=0.5\)

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\(\displaystyle Z=\frac{\,61-60\,}{\,0.5\,}=2\)

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\(P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}2\,)=0.0456\)

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ス：①　　セ：⓪　　ソ：⓪

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【より詳しい解説】
無作為に抽出した \(100\) 個の重さの標本平均を \( \overline{X} \) として、表示通りである「\(m=60\)」という帰無仮説を立てる

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標本の大きさ \(n=100\) が十分大きいと考えて、帰無仮説が正しいとすると、母平均 \(m=60\)、母標準偏差 \(\sigma=5\) より、

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標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)と標準偏差は、

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\(~~~E(\overline{X})=m=60\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sqrt{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{\,100\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&0.5
\end{eqnarray}\)

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これより、標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(60~,~0.5^2\right) \) に従う

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また、\(Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-60\,}{\,0.5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、

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確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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\( \overline{X}=61 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,61-60\,}{\,0.5\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,0.5\,}=2\)

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よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(2\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(2)=0.4772\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}2\,)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}2)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left\{\,0.5-p(2)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot (0.5-0.4772)
\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.0228
\\[3pt]~~~&=&0.0456
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0.0456\lt 0.05\) より、有意水準 \(5\) %より小さいので、

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帰無仮説は棄却される

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よって、製品の重さは表示通りでないと判断できる