数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 117
117｜確率変数の和・積の期待値(平均)・分散
117
大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \(X\) 、\(Y\) とする。確率変数 \(X\) と \(Y\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
選択肢：⓪ 独立 ① 従属
また、出る目の和 \(X+Y\) の平均（期待値）は \(\fbox{イ}\) 、分散は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) であり、
出る目の積 \(XY\) の平均（期待値）は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\) である。
大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \(X\) 、\(Y\) とする。確率変数 \(X\) と \(Y\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
選択肢：⓪ 独立 ① 従属
また、出る目の和 \(X+Y\) の平均（期待値）は \(\fbox{イ}\) 、分散は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) であり、
出る目の積 \(XY\) の平均（期待値）は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
117 数学ⅡBC【解答】
ア：⓪
\(E(X+Y)=7\)
\(V(X+Y)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\)
\(E(XY)=\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}\)
【より詳しい解説】
大小2個のさいころの出る目は、互いに影響を及ぼさないので、
\(P(X=a~,~Y=b)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=P(X=a)\,P(Y=b)\)
が成り立つので、確率変数 \(X\) と \(Y\) は独立である
そのまま確率変数 \(X+Y\) の確率分布を考えると、\(X+Y=2\sim12\) まであり、1つ1つの確率変数の和の値とその確率を求めるのは大変である。
よって、それぞれの期待値(平均)を先に求めて、その和を利用する。
よって、それぞれの期待値(平均)を先に求めて、その和を利用する。
1個のさいころを投げたとき、出た目を確率変数とすると、
確率分布と期待値(平均)は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(~~~m=\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
これより、大小2個のさいころについても、期待値(平均)はそれぞれ \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) であるので、
\(~~~E(X)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~E(Y)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
よって、出る目の和 \( X+Y \) の期待値(平均)はそれぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&7
\end{eqnarray}\)
次に、さいころ1個について、確率変数 \(X\) とその2乗の値 \(X^2\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
これより、\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(~~~E\left(X^2\right)=\displaystyle \frac{\,1+4+9+16+25+36\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、分散 \(V(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E\left(X^2\right)-\left\{E(X)\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,182-147\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
これより、大小2個のさいころでも分散は \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\) であるので、
\(V(X)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}~,~V(Y)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\)
よって、\(X\) と \(Y\) は互いに独立であり、出る目の和の分散は、それぞれの分散の和に等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
\(X\) と \(Y\) は独立なので、出る目の積の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(XY)&=&E(X)\,E(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
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