数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 125
125｜標本平均と正規分布
125
母平均 \(50\) 、母標準偏差 \(30\) の母集団から大きさ \(100\) の標本を無作為抽出するとき、
標本平均を \(\overline{X}\) とすると、
平均（期待値）は \(E(\overline{X})=\fbox{アイ}\) 、
標準偏差は \(\sigma(\overline{X})=\fbox{ウ}\) である。
また、\(\overline{X}\) が \(53\) より大きい値をとる確率は、
\(\displaystyle Z=\frac{\,\overline{X}-\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1)=0.3413\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{X}\gt 53)&=&P(Z\gt\fbox{キ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ク}.\fbox{ケ}-p(\,\fbox{コ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{サシスセ}\end{eqnarray}\)
母平均 \(50\) 、母標準偏差 \(30\) の母集団から大きさ \(100\) の標本を無作為抽出するとき、
標本平均を \(\overline{X}\) とすると、
平均（期待値）は \(E(\overline{X})=\fbox{アイ}\) 、
標準偏差は \(\sigma(\overline{X})=\fbox{ウ}\) である。
また、\(\overline{X}\) が \(53\) より大きい値をとる確率は、
\(\displaystyle Z=\frac{\,\overline{X}-\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1)=0.3413\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{X}\gt 53)&=&P(Z\gt\fbox{キ})
\\[3pt]~~~&=&\fbox{ク}.\fbox{ケ}-p(\,\fbox{コ}\,)
\\[3pt]~~~&=&0.\fbox{サシスセ}\end{eqnarray}\)
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
125 数学ⅡBC【解答】
\(E(\overline{X})=50\)
\(\sigma(\overline{X})=3\)
\(\displaystyle Z=\frac{\,\overline{X}-50\,}{\,3\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{X}\gt 53)&=&P(Z\gt 1)
\\[3pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.1587\end{eqnarray}\)
【より詳しい解説】
母平均 \( m=50 \) 、母標準偏差 \( \sigma=30 \) より、
標本平均 \( \overline{X} \) の期待値(平均)は母平均と等しいので、
\( E(\overline{X})=m=50 \)
標準偏差は、母標準偏差を標本の大きさの平方根で割った値となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(\overline{X})&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,\sqrt{\,100\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
ここで、標本の大きさが大きいので、
標本平均 \( \overline{X} \) は近似的に正規分布 \( N\left(50~,~3^2\right) \) に従う
よって、変換の式 \( Z=\displaystyle \frac{\,\overline{X}-50\,}{\,3\,} \) より、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( \overline{X}=53 \) のとき
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,53-50\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}=1\)
よって、標本平均が \( 53 \) より大きい値をとる確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,\overline{X}\gt 53\,)&=&P(\,Z\gt 1\,)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)
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