数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 128
128｜母比率の仮説検定(両側検定5%)
128
硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出た。帰無仮説を「表と裏の出る確率は等しい」として、有意水準 \(5\) %で検定する。
帰無仮説のもとで、表が出る回数 \(X\) の平均（期待値）は \(\fbox{アイ}\) 、標準偏差は \(\fbox{ウ}\) である。
\(\displaystyle Z=\frac{\,58-\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}=\fbox{キ}.\fbox{ク}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1.6)=0.4452\) として、
\(P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}\fbox{ケ}.\fbox{コ}\,)=0.\fbox{サシスセ}\)
これは有意水準 \(5\) %より \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) ので、帰無仮説は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ}\) 。よって、偏りが \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}\) 。
選択肢：
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) ⓪ 大きい ① 小さい
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ}\) ⓪ 棄却される ① 棄却されない
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}\) ⓪ あると判断できる
\(\phantom{\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}}\) ① あるとは判断できない
硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出た。帰無仮説を「表と裏の出る確率は等しい」として、有意水準 \(5\) %で検定する。
帰無仮説のもとで、表が出る回数 \(X\) の平均（期待値）は \(\fbox{アイ}\) 、標準偏差は \(\fbox{ウ}\) である。
\(\displaystyle Z=\frac{\,58-\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}=\fbox{キ}.\fbox{ク}\) とおくと、\(Z\) は近似的に標準正規分布 \(N(0~,~1)\) に従うので、
\(p(1.6)=0.4452\) として、
\(P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}\fbox{ケ}.\fbox{コ}\,)=0.\fbox{サシスセ}\)
これは有意水準 \(5\) %より \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) ので、帰無仮説は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ}\) 。よって、偏りが \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}\) 。
選択肢：
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) ⓪ 大きい ① 小さい
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ}\) ⓪ 棄却される ① 棄却されない
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}\) ⓪ あると判断できる
\(\phantom{\bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ}}\) ① あるとは判断できない
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
128 数学ⅡBC【解答】
\(E(X)=50\)
\(\sigma(X)=5\)
\(\displaystyle Z=\frac{\,58-50\,}{\,5\,}=1.6\)
\(P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}1.6\,)=0.1096\)
ソ：⓪ タ：① チ：①
【より詳しい解説】
この硬貨の表と裏に偏りがあると判断したいので、「表と裏の出る確率は等しい」という帰無仮説を立てる
その確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5 \) となる
帰無仮説が正しいとすると、\(100\) 回中 表が出る回数 \( X \) は二項分布 \( B\left(\,100~,~0.5\,\right) \) に従う
よって、確率変数 \( X \) の期待値(平均)と標準偏差は、
\(~~~m=100{\, \small \times \,}0.5=50\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma&=&\sqrt{\,100{\, \small \times \,}0.5{\, \small \times \,}(1-0.5)\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( X \) は近似的に正規分布 \( N\left(50~,~5^2\right) \) に従う
また、\(Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,5\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\( X=58 \) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(~~~Z=\displaystyle \frac{\,58-50\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}=1.6\)
よって、確率変数 \(Z\) の絶対値が \(1.6\) 以上となる確率は、
正規分布表より、\(p(1.6)=0.4452\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,|\,Z\,|{\small ~≧~}1.6\,)&=&2\cdot P(Z{\small ~≧~}1.6)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot \left\{\,0.5-p(1.6)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&2\cdot (0.5-0.4452)
\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.0548
\\[3pt]~~~&=&0.1096
\end{eqnarray}\)
したがって、\(0.1096\gt 0.05\) より、有意水準 \(5\) %より大きいので、
帰無仮説は棄却されない
よって、この硬貨の表と裏に偏りがあるとは判断できない
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