数学B｜統計的な推測｜問題一覧 ＞ 問題解説 118
118｜反復試行の確率と二項分布
118
1個のさいころを \(3\) 回投げ、1の目が出る回数を \(X\) とする。確率変数 \(X\) の確率分布は、
これより、\(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{ケ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\,\right)\) に従う。
また、1の目が \(2\) 回以上出る確率は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{スセ}\,}\) である。
1個のさいころを \(3\) 回投げ、1の目が出る回数を \(X\) とする。確率変数 \(X\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,\fbox{アイウ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{ク}\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,\fbox{アイウ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,\fbox{ク}\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
※ 表は横にスクロールできます。
これより、\(X\) は二項分布 \(B\left(\,\fbox{ケ}~,~\displaystyle\frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\,\right)\) に従う。
また、1の目が \(2\) 回以上出る確率は \(\displaystyle\frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{スセ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜統計的な推測
118 数学ⅡBC【解答】
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,125\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,75\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
\(B\left(\,3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)\)
\(P(X{\small ~≧~}2)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}\)
【より詳しい解説】
さいころを1回投げたとき、1の目が出る確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
1の目が出ない確率は \( q=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
※ 確率分布の表にするので、約分はしない。
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_0 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{0}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{3}&=&1 \cdot 1 \cdot \displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_1 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{1}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{2}&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot \displaystyle \frac{\,25\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,75\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{1}&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,} \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_3 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{3}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{0}&=&1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,} \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}2)&=&P(X=2)+P(X=3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,125\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,75\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
\(B\left(\,3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right)\)
\(P(X{\small ~≧~}2)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}\)
【より詳しい解説】
さいころを1回投げたとき、1の目が出る確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
1の目が出ない確率は \( q=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
この試行を \(3\) 回くり返し、1の目が出る回数を \(X\) とすると、反復試行の確率より、
※ 確率分布の表にするので、約分はしない。
\({\small [\,1\,]}\) \( X=0 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_0 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{0}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{3}&=&1 \cdot 1 \cdot \displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \( X=1 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_1 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{1}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{2}&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot \displaystyle \frac{\,25\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,75\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \( X=2 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{1}&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,} \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) \( X=3 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_3 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{3}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{0}&=&1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,} \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,4\,]}\) より、確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,125\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,75\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。
したがって、くり返しの回数が \(3\) 、1の目が出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) より、二項分布は \( B\left(\,3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,\right) \)
また、1の目が \(2\) 回以上出るのは、\(X=2\) または \(X=3\) のときより、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}2)&=&P(X=2)+P(X=3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}
\end{eqnarray}\)
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