東京書籍：Advanced数学Ａ

p.60
問1
約数 \(1,2,3,4,6,12\)
倍数 \(12,24,36,48\)

p.61
問2
\({\small (1)}~\)[証明]
\(a+b+c\) が３の倍数のとき、整数 \(k\) をもちいて、
　\(a+b+c=3k\)
ここで、
　\(~~~~~~100a+10b+c\)
　\(~=99a+9b+a+b+c\)
　\(~=3(33a+3b+k)\)
\(33a+3b+k\) は整数であるので、\(n\) は３の倍数である [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(a+b+c\) が９の倍数のとき、整数 \(k\) をもちいて、
　\(a+b+c=9k\)
ここで、
　\(~~~~~~100a+10b+c\)
　\(~=99a+9b+a+b+c\)
　\(~=9(11a+b+k)\)
\(11a+b+k\) は整数であるので、\(n\) は９の倍数である [終]
→ 約数と倍数

p.61
問3
\({\small (1)}~2,3,6\) の倍数
\({\small (2)}~3,5\) の倍数
\({\small (3)}~2,3,4,6,8,9\) の倍数
→ 倍数判別法

p.62
問4
\({\small (1)}~5^2\times7\)
\({\small (2)}~3^5\)
\({\small (3)}~2^3\times3^2\times5^2\)
→ 素因数分解

p.62
問5
\(10\)

p.63
問6
\({\small (1)}~1,3,5,9,15,45\)
\({\small (2)}~1,2,4,7,14,28,49,98,196\)
→ 約数の個数・平方数

p.63
問7
\({\small (1)}~56\)　\({\small (2)}~465\)

p.64
問8
\({\small (1)}~(a,b)\)
\(~=(1,3)~,~(3,1)~,~(-1,-3)~,~(-3,-1)\)
\({\small (2)}~(a,b)\)
\(~=(1,-6)~,~(-6,1)~,~(-1,6)~,~(6,-1)\)
\(~~~~~(2,-3)~,~(-3,2)~,~(-2,3)~,~(3,-2)\)
\({\small (3)}~(a,b)\)
\(~=(3,7)~,~(6,4)~,~(4,5)\)
\(~~~~~(1,-1)~,~(-2,2)~,~(0,1)\)

p.64
問9
\({\small (1)}~(a,b)\)
\(~=(-1,7)~,~(9,-3)~,~(-3,-15)\)
\(~~~~~(-13,-5)\)
\({\small (2)}~(a,b)\)
\(~=(4,2)~,~(7,-1)~,~(5,0)\)
\(~~~~~(2,-6)~,~(-1,-3)~,~(1,-4)\)
→ 等式を満たす整数の組

p.65
問10
\({\small (1)}~28\)　\({\small (2)}~15\)　\({\small (3)}~1\)

p.66
問11
\({\small (1)}~112\)　\({\small (2)}~1176\)
\({\small (3)}~44100\)

p.67
問12
\({\small (1)}~\)
最大公約数 \(12\)
最小公倍数 \(1008\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(60\)
最小公倍数 \(25200\)
→ 最大公約数と最小公倍数

p.67
問13
\({\small (1)}~\)互いに素である
\({\small (2)}~\)互いに素でない
\({\small (3)}~\)互いに素である

p.69
問14
\(15\)

p.69
問15
\(12\) と \(180\)、\(36\) と \(156\)
\(60\) と \(132\)、\(84\) と \(108\)
→ 最大公約数と最小公倍数の関係式

p.70
1
\(a=2~,~b=6\)

p.70
2
\({\small (1)}~1,2,4,7,8,14,16,28\)
\(~~~~~~32,56,64,112,224,448\)
\({\small (2)}~1,2,4,11,17,22,34\)
\(~~~~~~44,68,187,374,748\)

p.70
3
\(0,1,2,5,8,17\)

p.70
4
\(24~,~1170\)

p.70
5
\({\small (1)}~(a,b)\)
\(~=(-2,7)~,~(0,5)~,~(-4,1)~,~(-6,3)\)
\({\small (2)}~(a,b)\)
\(~=(3,9)~,~(8,4)~,~(4,6)~,~(5,5)\)
\(~~~~~(1,-3)~,~(-4,2)~,~(-1,1)\)
\({\small (3)}~(a,b)\)
\(~=(1,2)~,~(2,1)~,~(0,-1)~,~(-1,0)\)

p.70
6
\({\small (1)}~\)
最大公約数 \(36\)
最小公倍数 \(7560\)
\({\small (2)}~\)
最大公約数 \(39\)
最小公倍数 \(8190\)

p.70
7
\(6\) ㎝

p.70
8
\(36\) ㎝

p.70
9
\(7\) と \(84\)、\(21\) と \(28\)

p.70
10
\(18\) と \(180\)、\(36\) と \(90\)

p.71
問1
\({\small (1)}~\)商 \(4\)、余り \(5\)
　\(41=9\cdot4+5\)
\({\small (2)}~\)商 \(-5\)、余り \(4\)
　\(-41=9\cdot(-5)+4\)
\({\small (3)}~\)商 \(7\)、余り \(10\)
　\(108=14\cdot7+10\)
\({\small (4)}~\)商 \(-8\)、余り \(4\)
　\(-108=14\cdot(-8)+4\)

p.72
問2
\({\small (1)}~3\)　\({\small (2)}~11\)
→ 除法の性質

p.73
問3
\(k\) を整数として、
\(6k~,~6k+1~,~6k+2\)
\(6k+3~,~6k+4~,~6k+5\)

p.74
問4
\({\small (1)}~\)[証明]
因数分解すると、
　\(n^2-n=(n-1)n\)
これより、連続する２つの整数 \(n-1~,~n\) の一方が２の倍数であるので、\((n-1)n\) は２の倍数である
したがって、\(n^2-n\) は２の倍数である [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
因数分解すると、
　\(n^3-n=(n-1)n(n+1)\)
これより、連続する３つの整数 \(n-1~,~n~,~n+1\) の一方が２の倍数であり、他の１つが３の倍数である
また、\(2\) と \(3\) は互いに素であるから \((n-1)n(n+1)\) は６のはあである
したがって、\(n^3-n\) は６の倍数である [終]

p.74
問5
[証明]すべての整数を４で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
それぞれについて \(n^2\) は
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
　\(n^2=4\cdot 4k^2\)
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割ったときの余りは \(0\) または \(1\) である [終]

p.75
問6
[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する２つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(5n+1=3(5k+2)\)
よって、\(5n+1\) が３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が３の倍数となる
(ⅰ)～(ⅲ)のどの場合でも３の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(5n+1)\) は６の倍数である [終]
→ 整数の分類と証明

p.77
問7
\({\small (1)}~15\)　\({\small (2)}~431\)
→ ユークリッドの互除法

p.79
問8
\({\small (1)}~n\) を整数として、
　\(x=5n~,~y=7n\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
　\(x=6n~,~y=-5n\)

p.80
問9
\({\small (1)}~n\) を整数として、
　\(x=7n+3~,~y=5n+2\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
　\(x=5n~,~y=-3n+9\)
→ 不定方程式①

p.81
問10
\(x=-8~,~y=17\)
→ 不定方程式②（互除法）

p.83
11
\(3\)

p.83
12
\(90n+11~(n=0,1,2,\cdots)\)

p.83
13
\({\small (1)}~\)[証明] \(9n^2-3n=3(3n^2-n)\) より、３の倍数である
次に、すべての整数を２で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(2k,2k+1\)
となる
(ⅰ) \(n=2k\) のとき、
　\(9(2k)^2-3\cdot2k=2(18k^2-3k)\)
(ⅱ) \(n=2k+1\) のとき、
　\(9(2k+1)^2-3(2k+1)\)
　\(~=2(18k^2+15k+3)\)
どちらの場合でも２の倍数となる
したがって、\(9n^2-3n\) は６の倍数である [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(n-1\) と \(n\) は連続する２つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n-1)\) は偶数である
次に、すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(n-1=3k)\)
よって、\(n-1\) が３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(2n-1=3(2k+1)\)
よって、\(2n-1\) が３の倍数となる
(ⅰ)～(ⅲ)のどの場合でも３の倍数となる
したがって、\(n(n-1)(2n-1)\) は６の倍数である [終]

p.83
14
\({\small (1)}~23\)　\({\small (2)}~11\)

p.83
15
\({\Large \frac{23}{29}}\)

p.83
16
\({\small (1)}~n\) を整数として、
　\(x=5n-1~,~y=13n-3\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
　\(x=40n-3~,~y=-93n+7\)

p.83
17
\(97\)

p.83
18
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~5\)

p.83
19
\(18\) 箱と \(0\) 箱、\(10\) 箱と \(5\) 箱、\(2\) 箱と \(10\) 箱
→ 不定方程式の利用

p.84
問1
\(6\cdot10^3+5\cdot10^2+7\cdot10+8\)

p.85
問2
\({\small (1)}~5\)　\({\small (2)}~10\)　\({\small (3)}~31\)
→ n進法①（10進法で表す）

p.86
問3
\({\small (1)}~10010_{(2)}\)
\({\small (2)}~100000_{(2)}\)
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)
→ n進法②（n進法で表す）

p.86
問4
\({\small (1)}~1.75\)
\({\small (2)}~3.25\)
\({\small (3)}~0.8125\)
→ n進法と小数

p.87
問5
\({\small (1)}~101001_{(2)}\)
\({\small (2)}~111_{(2)}\)
→ n進法のたし算
→ n進法のひき算

p.87
問6
\({\small (1)}~10101_{(2)}\)
\({\small (2)}~11_{(2)}\)
→ n進法のかけ算

p.88
問7
\({\small (1)}~142\)
\({\small (2)}~20101_{(3)}\)

p.88
問8
\({\small (1)}~1002_{(3)}\)
\({\small (2)}~100122_{(3)}\)

p.89
問9
①、③、④

p.90
問10
\(8\)
→ 分数と小数

p.92
20
\(91~,~1010001_{(2)}\)

p.92
21
\({\small (1)}~0.9375\)
\({\small (2)}~5.375\)

p.92
22
\({\small (1)}~1001111_{(2)}\)
\({\small (2)}~10101_{(2)}\)

p.92
23
\(20211_{(3)}~,~1214_{(5)}\)

p.92
24
\(8~,~10\)

p.94
1
\(30\)

p.94
2
\({\small (1)}~26\) 回
\({\small (2)}~7\) 個

p.94
3
\({\Large \frac{1225}{6}}\)

p.94
4
\(210\) ㎝、\(105\) 個

p.94
5
\((a,b)=(7,5)~,~(5,1)\)

p.94
6
\({\small (1)}~n\) を整数として、
　\(x=41n+4~,~y=-113n-11\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
　\(x=41n+12~,~y=-113n-33\)

p.94
7
\(9\)

p.94
8
\({\small (1)}~432_{(5)}\)
\({\small (2)}~433_{(7)}\)
\({\small (3)}~10112_{(3)}\)
\({\small (4)}~30_{(4)}\)

p.95
9
\(1~,~4~,~11\)

p.95
10
[証明] \(a+b\) と \(ab\) が互いに素でないと仮定すると、それらの素数である公約数 \(p\) と整数 \(s~,~t\) を用いて、
　\(a+b=ps~,~ab=pt\)
\(a\) と \(b\) は互いに素であるので、\(ab=pt\) より、素数 \(p\) は \(a\) の約数または \(b\) の約数となる
\(a\) の約数のとき、\(k\) を整数として、\(a=pk\) とでき、
　\(b=ps-a=p(s-k)\)
ここで、\(s-k\) は整数より、\(b\) は \(p\) の倍数である
\(a\) と \(b\) は公約数 \(p\) をもち互いに素に矛盾する
また、\(b\) の約数のときも同様に矛盾する
したがって、\(a+b\) と \(ab\) が互いに素である [終]

p.95
11
\(504~,~588\)

p.95
12
\(139\)

p.95
13
\(190\) または \(247\)

p.96
発展1
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~3\)　\({\small (3)}~4\)　\({\small (4)}~2\)

p.96
発展2
\(a=14,b=5,c=10,d=4\) のとき、
\(14-5=3\cdot3\) よって、\(a\equiv b~({\rm mod}~3)\)
\(10-4=3\cdot2\) よって、\(c\equiv d~({\rm mod}~3)\)
ここで、\(a+c=24,b+d=9\) より、
　\((a+c)-(b+d)=3\cdot5\)
よって、\(a+c\equiv b+d~({\rm mod}~3)\)

次に、\(a-c=4,b-d=1\) より、
　\((a-c)-(b-d)=3\cdot1\)
よって、\(a-c\equiv b-d~({\rm mod}~3)\)

次に、\(ac=56,bd=50\) より、
　\(ac-bd=3\cdot2\)
よって、\(ac\equiv bd~({\rm mod}~3)\)

p.97
発展3
\(4\)

p.9
発展4
\({\small (1)}~\)[証明]
\(a\) は \(3\) を法として、次のいずれかに合同である
\(a\equiv 0~({\rm mod}~3)\) のとき
　\(a^2 \equiv 0~({\rm mod}~3)\)
\(a\equiv 1~({\rm mod}~3)\) のとき
　\(a^2 \equiv 1~({\rm mod}~3)\)
\(a\equiv 2~({\rm mod}~3)\) のとき
　\(a^2 \equiv 4 \equiv 1~({\rm mod}~3)\)
したがって、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(a~,~b\) がともに３の倍数でないと仮定すると、
(1)の結果より
　\(a^2 \equiv 1~({\rm mod}~3)\) かつ \(b^2 \equiv 1~({\rm mod}~3)\)
これより、
　\(a^2+b^2 \equiv 2~({\rm mod}~3)\)
また、\(c^2\) は(1)の結果より
\(c^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である
よって、矛盾する
したがって、\(a~,~b\) のいずれか一方は３の倍数である[終]