数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 28
28｜定義域が動く2次関数の最大値・最小値
28
関数 \( y=x^2-2x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a) \) について、次の問いに答えよ。ただし、\(a \gt 0\) とする。
関数 \( y=x^2-2x+1~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a) \) について、次の問いに答えよ。ただし、\(a \gt 0\) とする。
\({\small (1)}~\)最小値 \( m \) は、
\( 0 \lt a \lt \fbox{ア} \) のとき、\( x=a \) で \( m=a^2-\fbox{イ}\,a+\fbox{ウ} \)
\( \fbox{ア}{\small ~≦~}a \) のとき、\( x=\fbox{エ} \) で \( m=\fbox{オ} \)
\({\small (2)}~\)最大値 \( M \) は、
\( 0 \lt a \lt \fbox{カ} \) のとき、\( x=\fbox{キ} \) で \( M=\fbox{ク} \)
\( a=\fbox{カ} \) のとき、\( x=\fbox{ケ}~,~\fbox{コ} \) で \( M=\fbox{ク} \)
\( \fbox{カ} \lt a \) のとき、\( x=a \) で \( M=a^2-\fbox{サ}\,a+\fbox{シ} \)
\( 0 \lt a \lt \fbox{ア} \) のとき、\( x=a \) で \( m=a^2-\fbox{イ}\,a+\fbox{ウ} \)
\( \fbox{ア}{\small ~≦~}a \) のとき、\( x=\fbox{エ} \) で \( m=\fbox{オ} \)
\({\small (2)}~\)最大値 \( M \) は、
\( 0 \lt a \lt \fbox{カ} \) のとき、\( x=\fbox{キ} \) で \( M=\fbox{ク} \)
\( a=\fbox{カ} \) のとき、\( x=\fbox{ケ}~,~\fbox{コ} \) で \( M=\fbox{ク} \)
\( \fbox{カ} \lt a \) のとき、\( x=a \) で \( M=a^2-\fbox{サ}\,a+\fbox{シ} \)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
28 数学ⅠA【解答】
【より詳しい解説】
\(y=x^2-2x+1\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((1~,~0)\) 、軸の方程式 \(x=1\)
また、対称性より \(x=2\) のとき \(x=0\) と同じ \(y\) の値となる
これより、\(a \gt 0\) の範囲で、\(a\) が \(1\) と \(2\) の前後で場合分けが必要となる
① \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=a\) で Min
② \(a=1\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=1~(x=a)\) で Min
③ \(1 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=1\) で Min
④ \(a=2\) のとき
\(x=0~,~2~(x=0~,~a)\) で Max、\(x=1\) で Min
⑤ \(a \gt 2\) のとき
\(x=a\) で Max、\(x=1\) で Min
\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑤の2つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(1{\small ~≦~}a\) のとき
\(x=1\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1-2+1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、最小値は、
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(x=a\) で \(a^2-2a+1\)
\(1{\small ~≦~}a\) のとき、\(x=1\) で \(0\)
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=2\) のとき
\(x=0~,~2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(2 \lt a\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a+1\end{eqnarray}\)
したがって、最大値は、
\(0 \lt a \lt 2\) のとき、\(x=0\) で \(1\)
\(a=2\) のとき、\(x=0~,~2\) で \(1\)
\(2 \lt a\) のとき、\(x=a\) で \(a^2-2a+1\)
\({\small (1)}~\)\( 0 \lt a \lt 1 \) のとき、\( x=a \) で \( m=a^2-2a+1 \)
\( 1{\small ~≦~}a \) のとき、\( x=1 \) で \( m=0 \)
\({\small (2)}~\)\( 0 \lt a \lt 2 \) のとき、\( x=0 \) で \( M=1 \)
\( a=2 \) のとき、\( x=0~,~2 \) で \( M=1 \)
\( 2 \lt a \) のとき、\( x=a \) で \( M=a^2-2a+1 \)
\( 1{\small ~≦~}a \) のとき、\( x=1 \) で \( m=0 \)
\({\small (2)}~\)\( 0 \lt a \lt 2 \) のとき、\( x=0 \) で \( M=1 \)
\( a=2 \) のとき、\( x=0~,~2 \) で \( M=1 \)
\( 2 \lt a \) のとき、\( x=a \) で \( M=a^2-2a+1 \)
※ 数式は横にスクロールできます。
【より詳しい解説】
\(y=x^2-2x+1\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((1~,~0)\) 、軸の方程式 \(x=1\)
また、対称性より \(x=2\) のとき \(x=0\) と同じ \(y\) の値となる
これより、\(a \gt 0\) の範囲で、\(a\) が \(1\) と \(2\) の前後で場合分けが必要となる
① \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=a\) で Min
② \(a=1\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=1~(x=a)\) で Min
③ \(1 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=1\) で Min
④ \(a=2\) のとき
\(x=0~,~2~(x=0~,~a)\) で Max、\(x=1\) で Min
⑤ \(a \gt 2\) のとき
\(x=a\) で Max、\(x=1\) で Min
\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑤の2つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a+1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(1{\small ~≦~}a\) のとき
\(x=1\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1^2-2 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1-2+1
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、最小値は、
\(0 \lt a \lt 1\) のとき、\(x=a\) で \(a^2-2a+1\)
\(1{\small ~≦~}a\) のとき、\(x=1\) で \(0\)
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 0+1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=2\) のとき
\(x=0~,~2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(2 \lt a\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a+1\end{eqnarray}\)
したがって、最大値は、
\(0 \lt a \lt 2\) のとき、\(x=0\) で \(1\)
\(a=2\) のとき、\(x=0~,~2\) で \(1\)
\(2 \lt a\) のとき、\(x=a\) で \(a^2-2a+1\)
２次関数｜問題一覧はこちら→
