数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 32
32｜2次関数のグラフの位置
32
2次関数 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフが図のようになるとき、次の値の正負を答えよ。
\({\small (1)}~\)\( a~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}~0 \) \({\small (2)}~\)\( b~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~0 \) \({\small (3)}~\)\( c~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~0 \)
\({\small (4)}~\)\( b^2-4ac~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}~0 \) \({\small (5)}~\)\( a+b+c~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}~0 \)
選択肢：⓪ \( \gt \) ① \( \lt \) ② \(=\)
2次関数 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフが図のようになるとき、次の値の正負を答えよ。
\({\small (1)}~\)\( a~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}~0 \) \({\small (2)}~\)\( b~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~0 \) \({\small (3)}~\)\( c~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~0 \)
\({\small (4)}~\)\( b^2-4ac~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}~0 \) \({\small (5)}~\)\( a+b+c~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}~0 \)
選択肢：⓪ \( \gt \) ① \( \lt \) ② \(=\)
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
32 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)①（\( a \lt 0 \)）
\({\small (2)}~\)⓪（\( b \gt 0 \)）
\({\small (3)}~\)①（\( c \lt 0 \)）
\({\small (4)}~\)⓪（\( b^2-4ac \gt 0 \)）
\({\small (5)}~\)⓪（\( a+b+c \gt 0 \)）
【より詳しい解説】
上に凸のグラフより、\(a \lt 0\)
\(y\) 切片が負より、\(c \lt 0\)
また、\(y=ax^2+bx+c\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&ax^2+bx+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x^2+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+a\left(-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a^2\,}\right)+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+c
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2\,}{\,4a\,}+\displaystyle \frac{\,4ac\,}{\,4a\,}
\\[5pt]~~~&=&a\left(x+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、頂点の \(x\) 座標は \(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}\) で、グラフから頂点の \(x\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b \gt 0\)
次に、頂点の \(y\) 座標は \(-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}\) で、グラフから頂点の \(y\) 座標は正であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\gt&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b^2-4ac\,}{\,4a\,}&\lt&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \lt 0\) であるので、\(b^2-4ac \gt 0\)
次に、グラフより \(x=1\) のとき \(y \gt 0\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c &\gt& 0
\\[3pt]~~~a+b+c &\gt& 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a \lt 0~,~b \gt 0~,~c \lt 0\)
\(b^2-4ac \gt 0~,~a+b+c \gt 0\)
となる
【別解】 \(b^2-4ac\) は判別式 \(D\) に等しいので、グラフが \(x\) 軸と2点で交わることから、
\(D \gt 0\)
よって、\(b^2-4ac \gt 0\)
２次関数｜問題一覧はこちら→
