数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 33
33｜2次不等式の解
33
次の2次不等式の解を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( x^2+x-2 \gt 0 \) の解は、
\( x \lt \fbox{アイ} ~,~\)\( \fbox{ウ} \lt x \)
\({\small (2)}~\)\( x^2-5x{\small ~≦~}0 \) の解は、
\( \fbox{エ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{オ} \)
\({\small (3)}~\)\( 2x^2+x-1 \lt 0 \) の解は、
\( \fbox{カキ} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \)
\({\small (4)}~\)\( -x^2+2x+1 \gt 0 \) の解は、
\( \fbox{コ}-\sqrt{\,\fbox{サ}\,} \lt x \lt \fbox{シ}+\sqrt{\,\fbox{ス}\,} \)
\({\small (5)}~\)\( x^2-6x+9{\small ~≦~}0 \) の解は、\( x=\fbox{セ} \)
\({\small (6)}~\)\( x^2-6x+9 \gt 0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ} \)
\({\small (7)}~\)\( x^2-2x+3 \gt 0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ} \)
\({\small (8)}~\)\( x^2-2x+3{\small ~≦~}0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ} \)
\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ} \) 〜 \( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ} \) の選択肢：
⓪ すべての実数 ① 解はない
② \( x=1 \) 以外のすべての実数
③ \( x=3 \) 以外のすべての実数
次の2次不等式の解を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( x^2+x-2 \gt 0 \) の解は、
\( x \lt \fbox{アイ} ~,~\)\( \fbox{ウ} \lt x \)
\({\small (2)}~\)\( x^2-5x{\small ~≦~}0 \) の解は、
\( \fbox{エ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{オ} \)
\({\small (3)}~\)\( 2x^2+x-1 \lt 0 \) の解は、
\( \fbox{カキ} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,} \)
\({\small (4)}~\)\( -x^2+2x+1 \gt 0 \) の解は、
\( \fbox{コ}-\sqrt{\,\fbox{サ}\,} \lt x \lt \fbox{シ}+\sqrt{\,\fbox{ス}\,} \)
\({\small (5)}~\)\( x^2-6x+9{\small ~≦~}0 \) の解は、\( x=\fbox{セ} \)
\({\small (6)}~\)\( x^2-6x+9 \gt 0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ} \)
\({\small (7)}~\)\( x^2-2x+3 \gt 0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{タ} \)
\({\small (8)}~\)\( x^2-2x+3{\small ~≦~}0 \) の解は、\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ} \)
\( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ} \) 〜 \( \bbox[2pt, border: 3px double #333]{チ} \) の選択肢：
⓪ すべての実数 ① 解はない
② \( x=1 \) 以外のすべての実数
③ \( x=3 \) 以外のすべての実数
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
33 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( x \lt -2 ~,~\)\( 1 \lt x \)
\({\small (2)}~\)\( 0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5 \)
\({\small (3)}~\)\( -1 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\({\small (4)}~\)\( 1-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt 1+\sqrt{\,2\,} \)
\({\small (5)}~\)\( x=3 \)
\({\small (6)}~\)③（\( x=3 \) 以外のすべての実数）
\({\small (7)}~\)⓪（すべての実数）
\({\small (8)}~\)①（解はない）
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)2次方程式 \(x^2+x-2=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+2)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
よって、2次関数 \(y=x^2+x-2\) のグラフは、
グラフの \(y \gt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、
\(x \lt -2~,~1 \lt x\) となる
\({\small (2)}~\)2次方程式 \(x^2-5x=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-5)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~5\end{eqnarray}\)
よって、2次関数 \(y=x^2-5x\) のグラフは、
グラフの \(y{\small ~≦~}0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、
\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\) となる
\({\small (3)}~\)2次方程式 \(2x^2+x-1=0\) の解は、
たすき掛けの表を用いると、
\(\begin{array}{c c c|c}
~~~2&&-1~&~-1\\[-5pt]
&{\times} & & \\[-5pt]
~~~1&&+1~&~+2\\[2pt]
\hline
&&&+1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(2x-1)(x+1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数 \(y=2x^2+x-1\) のグラフは、
グラフの \(y \lt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、
\(-1 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (4)}~\)両辺に \(-1\) を掛けると不等号の向きが逆になり、
\(x^2-2x-1 \lt 0\)
ここで、2次方程式 \(x^2-2x-1=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,4+4\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、2次関数 \(y=x^2-2x-1\) のグラフは、
グラフの \(y \lt 0\) となる範囲がこの2次不等式の解より、
\(1-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt 1+\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (5)}~\)2次関数 \(y=x^2-6x+9\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-6x+9\\[3pt]~~~&=&(x-3)^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点が \((3~,~0)\) で接するグラフとなる
\(x^2-6x+9{\small ~≦~}0\) の解は、
グラフの \(y{\small ~≦~}0\) となる範囲より、
したがって、\(x=3\) となる
\({\small (6)}~\)\(x^2-6x+9 \gt 0\) の解は、
グラフの \(y \gt 0\) となる範囲より、
したがって、\(x=3\) 以外のすべての実数 となる
\({\small (7)}~\)2次関数 \(y=x^2-2x+3\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2x+3\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1-1)+3\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1)-1+3\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2+2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((1~,~2)\) が \(x\) 軸と交わらないグラフとなる
\(x^2-2x+3 \gt 0\) の解は、
グラフの \(y \gt 0\) となる範囲より、
したがって、すべての実数 となる
\({\small (8)}~\)\(x^2-2x+3{\small ~≦~}0\) の解は、
グラフの \(y{\small ~≦~}0\) となる範囲より、
したがって、解はない
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