数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 37
37｜常に成り立つ2次不等式
37
\(m\) を定数とする。
\({\small (1)}~\)2次不等式 \( x^2+mx+m+3 \gt 0 \) の解がすべての実数であるとき、
\( \fbox{アイ} \lt m \lt \fbox{ウ} \)
\({\small (2)}~\)2次関数 \( y=x^2-mx-m+1 \) の \( y \) の値が常に正であるとき、
\(m\) を定数とする。
\({\small (1)}~\)2次不等式 \( x^2+mx+m+3 \gt 0 \) の解がすべての実数であるとき、
\( \fbox{アイ} \lt m \lt \fbox{ウ} \)
\({\small (2)}~\)2次関数 \( y=x^2-mx-m+1 \) の \( y \) の値が常に正であるとき、
\( \fbox{エオ}-\fbox{カ}\,\sqrt{\,\fbox{キ}\,} \lt m \lt \fbox{クケ}+\fbox{コ}\,\sqrt{\,\fbox{サ}\,} \)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
37 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( -2 \lt m \lt 6 \)
\({\small (2)}~\)\( -2-2\sqrt{\,2\,} \lt m \lt -2+2\sqrt{\,2\,} \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
2次不等式 \(x^2+mx+m+3 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、
2次関数 \(y=x^2+mx+m+3\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない
よって、2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-4m-12&\lt&0\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&\lt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m-6)(m+2)\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となる
したがって、\(-2 \lt m \lt 6\) となる
\({\small (2)}~\)
2次関数 \(y=x^2-mx-m+1\) の \(y\) の値が常に正であるので、2次関数のグラフは \(x\) 軸と交わらない
よって、2次方程式 \(x^2-mx-m+1=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~D=(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot (-m+1)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2+4m-4&\lt&0\end{eqnarray}\)
ここで、2次方程式 \(m^2+4m-4=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,4^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,16+16\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,32\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm 4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=m^2+4m-4\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となり、\(m\) 軸との交点は \(-2-2\sqrt{\,2\,}~,~-2+2\sqrt{\,2\,}\)
したがって、\(-2-2\sqrt{\,2\,} \lt m \lt -2+2\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (1)}~\)\( -2 \lt m \lt 6 \)
\({\small (2)}~\)\( -2-2\sqrt{\,2\,} \lt m \lt -2+2\sqrt{\,2\,} \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
2次不等式 \(x^2+mx+m+3 \gt 0\) の解がすべての実数であるとき、
2次関数 \(y=x^2+mx+m+3\) は常に正となり、\(x\) 軸と交わらない
よって、2次方程式 \(x^2+mx+m+3=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~D=m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2-4m-12&\lt&0\\[3pt]~~~(m-6)(m+2)&\lt&0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m-6)(m+2)\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となる
したがって、\(-2 \lt m \lt 6\) となる
\({\small (2)}~\)
2次関数 \(y=x^2-mx-m+1\) の \(y\) の値が常に正であるので、2次関数のグラフは \(x\) 軸と交わらない
よって、2次方程式 \(x^2-mx-m+1=0\) が実数解をもたないので、判別式 \(D \lt 0\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~D=(-m)^2-4 \cdot 1 \cdot (-m+1)&\lt&0\\[3pt]~~~m^2+4m-4&\lt&0\end{eqnarray}\)
ここで、2次方程式 \(m^2+4m-4=0\) の解は、
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,4^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,16+16\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm \sqrt{\,32\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4 \pm 4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=m^2+4m-4\) の \(y \lt 0\) の範囲が この不等式の解となり、\(m\) 軸との交点は \(-2-2\sqrt{\,2\,}~,~-2+2\sqrt{\,2\,}\)
したがって、\(-2-2\sqrt{\,2\,} \lt m \lt -2+2\sqrt{\,2\,}\) となる
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