数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 27
27｜軸が動く2次関数の最大値・最小値
27
\(a\) を定数とする。
関数 \( y=x^2-2ax~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2) \) について、次の問いに答えよ。
\(a\) を定数とする。
関数 \( y=x^2-2ax~(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2) \) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)最小値 \( m \) は、
\( a \lt \fbox{ア} \) のとき、\( x=\fbox{イ} \) で \( m=\fbox{ウ} \)
\( \fbox{ア}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{エ} \) のとき、\( x=a \) で \( m=\fbox{オ}\,a^2 \)
\( \fbox{エ} \lt a \) のとき、\( x=\fbox{カ} \) で \( m=\fbox{キク}\,a+\fbox{ケ} \)
\({\small (2)}~\)最大値 \( M \) は、
\( a \lt \fbox{コ} \) のとき、\( x=\fbox{サ} \) で \( M=\fbox{シス}\,a+\fbox{セ} \)
\( a=\fbox{コ} \) のとき、\( x=\fbox{ソ}~,~\fbox{タ} \) で \( M=\fbox{チ} \)
\( \fbox{コ} \lt a \) のとき、\( x=\fbox{ツ} \) で \( M=\fbox{チ} \)
\( a \lt \fbox{ア} \) のとき、\( x=\fbox{イ} \) で \( m=\fbox{ウ} \)
\( \fbox{ア}{\small ~≦~}a{\small ~≦~}\fbox{エ} \) のとき、\( x=a \) で \( m=\fbox{オ}\,a^2 \)
\( \fbox{エ} \lt a \) のとき、\( x=\fbox{カ} \) で \( m=\fbox{キク}\,a+\fbox{ケ} \)
\({\small (2)}~\)最大値 \( M \) は、
\( a \lt \fbox{コ} \) のとき、\( x=\fbox{サ} \) で \( M=\fbox{シス}\,a+\fbox{セ} \)
\( a=\fbox{コ} \) のとき、\( x=\fbox{ソ}~,~\fbox{タ} \) で \( M=\fbox{チ} \)
\( \fbox{コ} \lt a \) のとき、\( x=\fbox{ツ} \) で \( M=\fbox{チ} \)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
27 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( a \lt 0 \) のとき、\( x=0 \) で \( m=0 \)
\( 0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2 \) のとき、\( x=a \) で \( m=-a^2 \)
\( 2 \lt a \) のとき、\( x=2 \) で \( m=-4a+4 \)
\({\small (2)}~\)\( a \lt 1 \) のとき、\( x=2 \) で \( M=-4a+4 \)
\( a=1 \) のとき、\( x=0~,~2 \) で \( M=0 \)
\( 1 \lt a \) のとき、\( x=0 \) で \( M=0 \)
【より詳しい解説】
\(y=x^2-2ax\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((a~,~-a^2)\) 、軸の方程式 \(x=a\)
また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) の中央の値は \(x=1\) となる
これより、軸 \(x=a\) の位置について \(0~,~1~,~2\) の前後で場合分けが必要となる
① \(a \lt 0\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=0\) で Min
② \(a=0\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=0~(x=a)\) で Min
③ \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=a\) で Min
④ \(a=1\) のとき
\(x=0~,~2\) で Max、\(x=a~(x=1)\) で Min
⑤ \(1 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=a\) で Min
⑥ \(a=2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=2~(x=a)\) で Min
⑦ \(a \gt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=2\) で Min
\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a \cdot a
\\[3pt]~~~&=&a^2-2a^2
\\[3pt]~~~&=&-a^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(2 \lt a\) のとき
\(x=2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a
\\[3pt]~~~&=&-4a+4\end{eqnarray}\)
したがって、最小値は、
\(a \lt 0\) のとき、\(x=0\) で \(0\)
\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(x=a\) で \(-a^2\)
\(2 \lt a\) のとき、\(x=2\) で \(-4a+4\)
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき
\(x=2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a
\\[3pt]~~~&=&-4a+4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき
\(x=0~,~2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 1 \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(1 \lt a\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、最大値は、
\(a \lt 1\) のとき、\(x=2\) で \(-4a+4\)
\(a=1\) のとき、\(x=0~,~2\) で \(0\)
\(1 \lt a\) のとき、\(x=0\) で \(0\)
\({\small (1)}~\)\( a \lt 0 \) のとき、\( x=0 \) で \( m=0 \)
\( 0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2 \) のとき、\( x=a \) で \( m=-a^2 \)
\( 2 \lt a \) のとき、\( x=2 \) で \( m=-4a+4 \)
\({\small (2)}~\)\( a \lt 1 \) のとき、\( x=2 \) で \( M=-4a+4 \)
\( a=1 \) のとき、\( x=0~,~2 \) で \( M=0 \)
\( 1 \lt a \) のとき、\( x=0 \) で \( M=0 \)
【より詳しい解説】
\(y=x^2-2ax\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2ax
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2-a^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2ax+a^2)-a^2
\\[3pt]~~~&=&(x-a)^2-a^2\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((a~,~-a^2)\) 、軸の方程式 \(x=a\)
また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) の中央の値は \(x=1\) となる
これより、軸 \(x=a\) の位置について \(0~,~1~,~2\) の前後で場合分けが必要となる
① \(a \lt 0\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=0\) で Min
② \(a=0\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=0~(x=a)\) で Min
③ \(0 \lt a \lt 1\) のとき
\(x=2\) で Max、\(x=a\) で Min
④ \(a=1\) のとき
\(x=0~,~2\) で Max、\(x=a~(x=1)\) で Min
⑤ \(1 \lt a \lt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=a\) で Min
⑥ \(a=2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=2~(x=a)\) で Min
⑦ \(a \gt 2\) のとき
\(x=0\) で Max、\(x=2\) で Min
\({\small (1)}~\)最小値は①、②～⑥、⑦の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 0\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき
\(x=a\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&a^2-2a \cdot a
\\[3pt]~~~&=&a^2-2a^2
\\[3pt]~~~&=&-a^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(2 \lt a\) のとき
\(x=2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a
\\[3pt]~~~&=&-4a+4\end{eqnarray}\)
したがって、最小値は、
\(a \lt 0\) のとき、\(x=0\) で \(0\)
\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) のとき、\(x=a\) で \(-a^2\)
\(2 \lt a\) のとき、\(x=2\) で \(-4a+4\)
\({\small (2)}~\)最大値は①～③、④、⑤～⑦の3つに場合分けすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(a \lt 1\) のとき
\(x=2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2a \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&4-4a
\\[3pt]~~~&=&-4a+4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=1\) のとき
\(x=0~,~2\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2 \cdot 1 \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(1 \lt a\) のとき
\(x=0\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-2a \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、最大値は、
\(a \lt 1\) のとき、\(x=2\) で \(-4a+4\)
\(a=1\) のとき、\(x=0~,~2\) で \(0\)
\(1 \lt a\) のとき、\(x=0\) で \(0\)
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