数学Ⅰ｜２次関数｜問題一覧 ＞ 問題解説 24
24｜2次関数の最大値・最小値
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次の関数の最大値・最小値を求めよ。
\({\small (1)}~\)関数 \( y=-x^2-2x+3 \) は、
\( x=\fbox{アイ} \) で最大値 \( \fbox{ウ} \) をとり、
最小値はない。
\({\small (2)}~\)関数 \( y=x^2-4x-2 \) \( (0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3) \) は、
\( x=\fbox{エ} \) で最大値 \( \fbox{オカ} \)、
\( x=\fbox{キ} \) で最小値 \( \fbox{クケ} \) をとる。
次の関数の最大値・最小値を求めよ。
\({\small (1)}~\)関数 \( y=-x^2-2x+3 \) は、
\( x=\fbox{アイ} \) で最大値 \( \fbox{ウ} \) をとり、
最小値はない。
\({\small (2)}~\)関数 \( y=x^2-4x-2 \) \( (0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3) \) は、
\( x=\fbox{エ} \) で最大値 \( \fbox{オカ} \)、
\( x=\fbox{キ} \) で最小値 \( \fbox{クケ} \) をとる。
共通テスト数学ⅠA｜２次関数
24 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( x=-1 \) で最大値 \( 4 \)、最小値はない
\({\small (2)}~\)\( x=0 \) で最大値 \( -2 \)、\( x=2 \) で最小値 \( -6 \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2-2x+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2x+1)+1+3
\\[3pt]~~~&=&-(x+1)^2+4\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((-1~,~4)\) 、上に凸のグラフより、
\(\begin{array}{c|ccc}
x & \cdots & -1 & \cdots \\
\hline
y & \nearrow & 4 & \searrow
\end{array}\)
したがって、\(x=-1\) のとき最大値 \(4\)
最小値はない
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-4x-2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+4)-4-2
\\[3pt]~~~&=&(x-2)^2-6\end{eqnarray}\)
よって、頂点 \((2~,~-6)\) 、下に凸のグラフ
また、定義域より \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) において、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-4 \cdot 0-2
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3^2-4 \cdot 3-2
\\[3pt]~~~&=&9-12-2
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
グラフを描くと、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 3 \\
\hline
y & -2 & \searrow & -6 & \nearrow & -5
\end{array}\)
したがって、
値域は \(-6{\small ~≦~}y{\small ~≦~}{-2}\)
\(x=0\) のとき、最大値 \(-2\)
\(x=2\) のとき、最小値 \(-6\) となる
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